今天遇到了一个问题，一个式子包含一个叉乘的同时还包含了一个点乘。这个式子如下：
∇t×z^⋅z^\nabla_t \times \hat{z} \cdot \hat{z}∇t×z^⋅z^
其中，
∇t=(∂∂x,∂∂y)=∂∂xx^+∂∂yy^\nabla_t = \left ( \frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y} \right )=\frac{\partial }{\partial x}\hat{x} + \frac{\partial }{\partial y} \hat{y}∇t=(∂x∂,∂y∂)=∂x∂x^+∂y∂y^：del算符的横向分量。

那么这个式子的结果究竟是什么呢？

第一种计算方式

首先我们按照从左到右的顺序来计算这个式子，
∇t×z^⋅z^=(∂∂xx^×z^+∂∂yy^×z^)⋅z^=(−∂∂xy^+∂∂yx^)⋅z^=0\begin{align} \nabla_t \times \hat{z} \cdot \hat{z}&= \left ( \frac{\partial }{\partial x } \hat{x} \times \hat{z}+ \frac{\partial }{\partial y}\hat{y} \times \hat{z} \right ) \cdot \hat{z} \nonumber \\ &= \left ( -\frac{\partial }{\partial x } \hat{y}+ \frac{\partial }{\partial y}\hat{x} \right ) \cdot \hat{z} \nonumber \\ &= 0 \nonumber \end{align} ∇t×z^⋅z^=(∂x∂x^×z^+∂y∂y^×z^)⋅z^=(−∂x∂y^+∂y∂x^)⋅z^=0

第二种计算方式

∇t×z^⋅z^=∇t×(z^×z^)=∇t×1=0\begin{aligned} \nabla_t \times \hat{z} \cdot \hat{z}&=\nabla_t \times \left ( \hat{z} \times \hat{z} \right ) \\ &= \nabla_t \times 1 \\ &= 0 \end{aligned} ∇t×z^⋅z^=∇t×(z^×z^)=∇t×1=0
上述两种方法可见结果一致，有些小伙伴们就会立刻得到一个结论，对于一个既包含叉乘又包含点乘，且叉乘在前，点乘在后的式子，我们可以先计算点乘，再计算叉乘，最终的结果不会变化。事实真的是这样吗？

根据矢量标识，我们对∇t×(z^×z^)\nabla_t \times \left ( \hat{z} \times \hat{z}\right)∇t×(z^×z^)进行展开得到：
∇t×(z^×z^)=∇t×z^⋅z^+∇t×z^⋅z^\begin{aligned} \nabla_t \times \left ( \hat{z} \times \hat{z}\right)&= \nabla_t \times \hat{z} \cdot \hat{z} + \nabla_t \times \hat{z} \cdot \hat{z} \end{aligned} ∇t×(z^×z^)=∇t×z^⋅z^+∇t×z^⋅z^
只是恰好，此时∇t×z^⋅z^=0\nabla_t \times \hat{z} \cdot \hat{z}=0∇t×z^⋅z^=0，因此我们侥幸得到了∇t×(z^×z^)=∇t×z^⋅z^\nabla_t \times \left ( \hat{z} \times \hat{z}\right)= \nabla_t \times \hat{z} \cdot \hat{z}∇t×(z^×z^)=∇t×z^⋅z^。因此，遇到叉乘和点乘同时存在的式子，我们不能够随意地变动它们的计算顺序，要根据情况而定。

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