英文原文地址：Benford’s Law and Accounting Fraud Detection

本福特定律

基本概念

本福特定律（也称为第一位数法或本福特分布）是一种概率分布，许多统计学的（但不是全部）数据集的第一个数字符合。例如，

本福特定律通常可用作欺诈性数据的指标，并可协助审计会计数据。本福特的分布是一种不均匀的分布，较小的数字比较大的数字有更大的出现j可能。

数位分布概率

第1位数字	出现概率
1	0.301
2	0.176
3	0.125
4	0.097
5	0.079
6	0.067
7	0.058
8	0.051
9	0.046

本福特分布图

本福特分布公式

P(d)=log10(d+1)−log10d=log10(1+1d)P(d) = log_{10}(d + 1)-log_{10}d = log_{10}(1 + \frac{1}{d})P(d)=log10(d+1)−log10d=log10(1+d1)

本福特定律适用于哪类数据？

在大部分情况下，本福特定律可以适用于具有以下特征的数据：

具有通过来自多个分布的数字的数学组合形成的值的数据。
具有多种数字的数据，例如具有数百，数千，数万等数值的数据。
数据集相当大。
数据是右倾斜的，即平均值大于中值，并且分布具有长的右尾而不是对称的。
数据没有预定义的最大值或最小值（最小值为零）。

虽然有以上的限制，但实际上在会计中，符合上述特征的数据非常普遍。

会计欺诈检测与取证分析

应收账款，应付账款，销售和费用数据均基于两种类型的变量相乘的值，即价格和数量。单独，价格和数量不太可能符合本福特定律，但很可能会成倍增加。这种会计数据也可能是正确的。大公司的交易级会计数据几乎总是会有大量的观察结果。

如果某些会计数据预计符合本福特定律但不符合，则并不一定意味着数据是欺诈性的。然而，这将为进一步调查提供充分的理由。

以下是如何对会计数据执行本福特分布分析的一些示例。

示例1 大型企业的应付账款数据

分析显示，大型企业的应付几款的数据的数字第一位数字中有很大比例的1。经过仔细检查后发现，与上一个会计期间相比，还有更多的支付支票略高于1000美元。前一期的大部分支票金额低于100美元。

在一起财务调查中，负责的财务官随后受到质疑，他们回答称他们决定汇总金额以试图减少支票。低数字金额的合并是偏离本福特定律的常见解释，使财务官的解释变得合情合理。

经过进一步调查，据透露，该官员正在向他们创建的虚假壳公司写支票。

示例2：本福特的分析应用于组织的费用数据。

最初的本福特分析显示，数据的第一位数字中“非常大”的比例非常大。经过仔细检查，特定费用的许多条目达到45美元。发现费用对于运营组织至关重要，必须经常支付。调查了这笔特殊费用，然后被认为是合法的。

然后将Benford的分析应用于费用数据的副本，但省略了特定的频繁费用。发现排除该特定费用的数据与本福特的分布非常接近。

超越第一个数字推广本福特定律

通过查看第一个数字以外的数字，可以增强Benford的分析。

广义本福特的分布表

译者：本表的作用是表示分布规则还可以作用在不同的数位上。比如，0出现在第2位的概率是 11.97%，要高于平均值10%。

数位	第1位	第2位	第3位	第4位	第5位
0	NA	0.11968	0.10178	0.10018	0.10002
1	0.30103	0.11389	0.10138	0.10014	0.10001
2	0.17609	0.10882	0.10097	0.10010	0.10001
3	0.12494	0.10433	0.10057	0.10006	0.10001
4	0.09691	0.10031	0.10018	0.10002	0.10000
5	0.07918	0.09668	0.09979	0.09998	0.10000
6	0.06695	0.09337	0.09940	0.09994	0.09999
7	0.05799	0.09035	0.09902	0.09990	0.09999
8	0.05115	0.08757	0.09864	0.09986	0.09999
9	0.04576	0.08500	0.09827	0.09982	0.09998

注意：由以上数据可以看出，在广义分布中，数字的出现概率要比第一个数字更加均匀。

一般分布公式

P(d)=∑k=10n−210n−1−1log10(1+110k+d)P(d)=\sum_{k=10^{n-2}}^{10^{n-1} - 1}log_{10}(1 + \frac{1}{10k+d}) P(d)=k=10n−2∑10n−1−1log10(1+10k+d1)

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