一维热传导方程的推导

模型建立

考虑一根具有定横截面积AAA的杆，其方向为xxx轴的方向（由x=0x=0x=0至x=Lx=Lx=L），如图1所示。

设单位体积的热能量为未知变量，叫做热能密度：e(x,t)e(x,t)e(x,t)。

假设通过截面的热量是恒定的，杆是一维的。做到这一点的最简单方法是将杆的侧面完全绝热，这样热能就不能通过杆的侧面扩散出去。

对xxx和ttt的依赖对应于杆受热不均匀的情形；热能密度由一个截面到另一个截面是变化的。

热能守恒

考察杆介于xxx和x+Δxx+\Delta xx+Δx之间的薄片，如图1所示。若热能密度在薄片内是常数，则薄片内的总能量是热能密度和体积（即横截面积乘以长度）的乘积：

E(x,t)=e(x,t)AΔxE(x,t)=e(x,t)A\Delta x E(x,t)=e(x,t)AΔx

如果我们想知道薄片内部温度随时间变化多快，我们需要知道有多少热量进入或离开该区域。根据傅里叶定律（Fourier’s law），通过单位时间、单位面积、单位温差流动出去或流入进来（取决于温差符号）的热量为常数kkk。因此，在时刻ttt时，在位置$x+\Delta x $处流出去或流入进来（取决于温差符号）的总热量为：

Qout(x+Δx,t)=−kA∂u∂x(x+Δx,t)Q_{out}(x+\Delta x,t)=-kA\frac{\partial u}{\partial x}(x+\Delta x,t) Qout(x+Δx,t)=−kA∂x∂u(x+Δx,t)

其中∂u∂x\frac{\partial u}{\partial x}∂x∂u表示温度关于位置$x $ 的变化率。

类似地，在位置$x $处流入或流出（取决于温差符号）的总热量为：

Qin(x,t)=kA∂u∂x(x,t)Q_{in}(x,t)=kA\frac{\partial u}{\partial x}(x,t) Qin(x,t)=kA∂x∂u(x,t)

注意负号表示如果∂u∂x\frac{\partial u}{\partial x}∂x∂u为正，则表示从高温区域向低温区域传递；反之亦然。

根据能量守恒原理，我们可以得到以下等式：

E(x,t+Δt)−E(x,t)=Qin(x,t)−Qout(x+Δx,t)E(x,t+\Delta t)-E(x,t)=Q_{in}(x,t)-Q_{out}(x+\Delta x,t) E(x,t+Δt)−E(x,t)=Qin(x,t)−Qout(x+Δx,t)

这意味着在$\Delta t $时间内薄片内部储存或释放（取决于符号）的总能量等于在该时间段内进入或离开该区域（取决于符号）的总能量。

方程推导

代入上述等式，得到：

e(x,t)AΔx∂u∂t(x,t)=−kA∂u∂x(x+Δx,t)+kA∂u∂x(x,t)e(x,t)A\Delta x\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=-kA\frac{\partial u}{\partial x}(x+\Delta x,t)+kA\frac{\partial u}{\partial x}(x,t) e(x,t)AΔx∂t∂u(x,t)=−kA∂x∂u(x+Δx,t)+kA∂x∂u(x,t)

将两边同时除以AΔxA\Delta xAΔx，得到：

e(x,t)∂u∂t(x,t)=−k∂u∂x(x+Δx,t)−∂u∂x(x,t)Δxe(x,t)\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=-k\frac{\frac{\partial u}{\partial x}(x+\Delta x,t)-\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)}{\Delta x} e(x,t)∂t∂u(x,t)=−kΔx∂x∂u(x+Δx,t)−∂x∂u(x,t)

令Δx→0\Delta x \to 0Δx→0，利用极限定义，得到：

e(x,t)∂u∂t(x,t)=−k∂2u∂x2(x,t)e(x,t)\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=-k \frac{\partial^2u}{\partial x^2}(x,t) e(x,t)∂t∂u(x,t)=−k∂x2∂2u(x,t)

这就是一维热传导方程的基本形式。如果杆的横截面积不是常数，则需要对上式做一些修正。