图的五种最短路径算法

本文总结了图的几种最短路径算法的实现：深度或广度优先搜索算法，费罗伊德算法，迪杰斯特拉算法，Bellman-Ford 算法。

1）深度或广度优先搜索算法（解决单源最短路径）

从起点开始访问所有深度遍历路径或广度优先路径，则到达终点节点的路径有多条，取其中路径权值最短的一条则为最短路径。

下面是核心代码：

void dfs(int cur,int dst){if(minpath<dst) return;//当前走过的路径大雨之前的最短路径，没有必要再走下去了if(cur==en){//临界条件，当走到终点nif(minpath>dst){minpath=dst;return;}}for(int i=1;i<=n;i++){if(mark[i]==0&&edge[cur][i]!=inf&&edge[cur][i]!=0){mark[i]=1;dfs(i,dst+edge[cur][i]);mark[i]=0;//需要在深度遍历返回时将访问标志置0}}return;
}

例：先输入n个节点，m条边，之后输入有向图的m条边，边的前两个元素表示起点和终点，第三个值表示权值，输出1号城市到n号城市的最短距离。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define nmax 110
#define inf 999999999
int minpath,n,m,en,edge[nmax][nmax],mark[nmax];//最短路径，节点数，边数，终点，邻接矩阵，节点访问标记
void dfs(int cur,int dst){if(minpath<dst) return;//当前走过的路径大雨之前的最短路径，没有必要再走下去了if(cur==en){//临界条件，当走到终点nif(minpath>dst){minpath=dst;return;}}for(int i=1;i<=n;i++){if(mark[i]==0&&edge[cur][i]!=inf&&edge[cur][i]!=0){mark[i]=1;dfs(i,dst+edge[cur][i]);mark[i]=0;//需要在深度遍历返回时将访问标志置0}}return;
}
int main ()
{while(cin>>n>>m&&n!=0){//初始化邻接矩阵for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){edge[i][j]=inf;}edge[i][i]=0;}int a,b;while(m--){cin>>a>>b;cin>>edge[a][b];}minpath=inf;memset(mark,0,sizeof(mark));mark[1]=1;en=n;dfs(1,0);cout<<minpath<<endl;}
}

程序运行结果如下：

2）弗洛伊德算法（解决多源最短路径）：时间复杂度o(n^3),空间复杂度o(n^2)

基本思想：最开始只允许经过1号顶点进行中转，接下来只允许经过1号和2号顶点进行中转.......允许经过1~n号所有顶点进行中转，来不断动态更新任意两点之间的最短距离。即求从i号顶点到j顶点只经过前k号点的最短距离。

分析如下：1，首先构建邻接矩阵edge[n+1][n+1],假如现在只允许经过1号节点，求任意两点间的最短距离，很显然edge[i][j]=min(edge[i][j],edge[i][1]+edge[1][j]),代码如下：

for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(edge[i][j]>edge[i][1]+edge[1][j]){edge[i][j]=edge[i][1]+edge[1][j];}}}

2.接下来继续求在只允许经过1和2号两个顶点的情况下任意两点之间的最短距离，在已经实现了从i号顶点到j号顶点只经过前1号点的最短路程的前提下，现在插入第2号节点，来看看能不能更新最短路径，因此只需在步骤一求得的基础上，进行edge[i][j]=min(edge[i][j],edge[i][2]+edge[2][j]);.......

3.很显然，需要n次这样的更新，表示依次插入了1号2号.......n号节点，最后求得的edge[i][j]是从i号顶点到j号顶点只经过前n号点的最短路程。因此核心代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 999999999
int main ()
{for(int k=1;k<=n;k++){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(edge[k][j]<inf&&edge[i][k]<inf&&edge[i][j]>edge[i][k]+edge[k][j]){edge[i][j]=edge[i][k]+edge[k][j];}}}}
}

例1：寻找最短的从商场到赛场的路线。其中商店在1号节点处，赛场在n号节点处，1~n节点中有m条线路双向连接。

/***先输入n，m，在输入m个三元组，n为路口数，m表示有几条路，其中1为商店，n为赛场，三元组分别表示起点终点，和该路径长，输出1到n的最短距离***/

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 999999999
#define nmax 110
int n,m,edge[nmax][nmax];
int main ()
{int a,b;while(cin>>n>>m&&n!=0){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){edge[i][j]=inf;}edge[i][i]=0;}while(m--){cin>>a>>b;cin>>edge[a][b];edge[b][a]=edge[a][b];}for(int k=1;k<=n;k++){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(edge[k][j]<inf&&edge[i][k]<inf&&edge[i][j]>edge[i][k]+edge[k][j]){edge[i][j]=edge[i][k]+edge[k][j];}}}}cout<<edge[1][n]<<endl;}
}

程序运行结果如下：

3）迪杰斯特拉算法（解决单源最短路径）

基本思想：每次找到离源点（如1号节点）最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。

基本步骤：1，设置标记数组book[]：将所有的顶点分为两部分，已知最短路径的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q，很显然最开始集合P只有源点一个顶点。book[i]为1表示在集合P中；

2，设置最短路径数组dst[]并不断更新：初始状态下，dst[i]=edge[s][i](s为源点，edge为邻接矩阵),很显然此时dst[s]=0,book[s]=1.此时，在集合Q中可选择一个离源点s最近的顶点u加入到P中。并依据以u为新的中心点，对每一条边进行松弛操作（松弛是指由顶点s-->j的途中可以经过点u，并令dst[j]=min(dst[j],dst[u]+edge[u][j])）,并令book[u]=1;

3，在集合Q中再次选择一个离源点s最近的顶点v加入到P中。并依据v为新的中心点，对每一条边进行松弛操作（即dst[j]=min(dst[j],dst[v]+edge[v][j])）,并令book[v]=1;

4,重复3，直至集合Q为空。

核心代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define nmax 110
#define inf 999999999
/***构建所有点最短路径数组dst[],且1为源点***/
int u;/***离源点最近的点***/
int minx;
for(int i=1;i<=n;i++) dst[i]=edge[1][i];
for(int i=1;i<=n;i++) book[i]=0;
book[1]=1;
for(int i=1;i<=n-1;i++){minx=inf;for(int j=1;j<=n;j++){if(book[j]==0&&dst[j]<minx){minx=dst[j];u=j;}}book[u]=1;/***更新最短路径数组***/for(int k=1;k<=n;k++){if(book[k]==0&&dst[k]>dst[u]+edge[u][k]&&edge[u][k]<inf){dst[k]=dst[u]+edge[u][k];}}
}

例1：给你n个点，m条无向边，每条边都有长度d和花费p，给你起点s，终点t，要求输出起点到终点的最短距离及其花费，如果最短距离是有多条路线，则输出花费最少的。

输入：输入n，m，点的编号是1~n，然后是m行，每行4个数a，b，d，p，表示a和b之间有一条边，且长度为d，花费为p。最后一行是两个数s，t，起点s，终点t。n和m为0时输入结束。（1<n<=1000,0<m<100000,s!=t）

输出：输出一行，有两个数，最短距离及其花费。

分析：由于每条边有长度d和花费p，最好构建变结构体存放。

使用邻接矩阵求解：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define nmax 110
#define inf 999999999
struct Edge{int len;int cost;
}edge[nmax][nmax];
int u,n,m,book[nmax],s,t,dst[nmax],spend[nmax];
int minx;
int main (){while(cin>>n>>m&&n!=0&&m!=0){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){edge[i][j].len=inf;edge[i][j].cost=0;}edge[i][i].len=0;}int a,b;while(m--){cin>>a>>b;cin>>edge[a][b].len>>edge[a][b].cost;edge[b][a].len=edge[a][b].len;edge[b][a].cost=edge[a][b].cost;}cin>>s>>t;for(int i=1;i<=n;i++) {dst[i]=edge[s][i].len;spend[i]=edge[s][i].cost;}for(int i=1;i<=n;i++) book[i]=0;book[s]=1;
for(int i=1;i<=n-1;i++){minx=inf;for(int j=1;j<=n;j++){if(book[j]==0&&dst[j]<minx){minx=dst[j];u=j;}}book[u]=1;for(int k=1;k<=n;k++){if(book[k]==0&&(dst[k]>dst[u]+edge[u][k].len||(dst[k]==dst[u]+edge[u][k].len&&spend[k]>spend[u]+edge[u][k].cost))&&edge[u][k].len<inf){dst[k]=dst[u]+edge[u][k].len;spend[k]=spend[u]+edge[u][k].cost;}}
}cout<<dst[t]<<' '<<spend[t]<<endl;}}

程序运行结果如下：

4）Bellman-Ford算法（解决负权边，解决单源最短路径，前几种方法不能解决负权边）

主要思想：所有的边进行n-1轮松弛，因为在一个含有n个顶点的图中，任意两点之间的最短路径最多包含n-1条边。换句话说，第1轮在对所有的边进行松弛操作后，得到从1号顶点只能经过一条边到达其余各定点的最短路径长度，第2轮在对所有的边进行松弛操作后，得到从1号顶点只能经过两条边到达其余各定点的最短路径长度，........

此外，Bellman-Ford算法可以检测一个图是否含有负权回路：如果经过n-1轮松弛后任然存在dst[e[i]]>dst[s[i]]+w[i].

例1：对图中含有负权的有向图，输出从1号节点到各节点的最短距离，并判断有无负权回路。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define nmax 1001
#define inf 999999999
int n,m,s[nmax],e[nmax],w[nmax],dst[nmax];
int main ()
{while(cin>>n>>m&&n!=0&&m!=0){for(int i=1;i<=m;i++){cin>>s[i]>>e[i]>>w[i];}for(int i=1;i<=n;i++)dst[i]=inf;dst[1]=0;for(int i=1;i<=n-1;i++){for(int j=1;j<=m;j++){if(dst[e[j]]>dst[s[j]]+w[j]){dst[e[j]]=dst[s[j]]+w[j];}}}int flag=0;for(int i=1;i<=m;i++){if(dst[e[i]]>dst[s[i]]+w[i]){flag=1;}}if(flag) cout<<"此图有负权回路"<<endl;else{for(int i=1;i<=n;i++){if(i==1) cout<<dst[i];else cout<<' '<<dst[i];}cout<<endl;}
}
}

程序运行结果如下：

5）SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)算法是求单源最短路径的一种算法，它是Bellman-ford队列优化，它是一种十分高效的最短路算法。

实现方法：建立一个队列，初始时队列里只有起始点s，在建立一个数组记录起始点s到所有点的最短路径（初始值都要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行松弛操作，用队列里的点去刷新起始点s到所有点的距离的距离，如果刷新成功且刷新的点不在队列中，则把该点加入到队列，重复执行直到队列为空。

此外，SPFA算法可以判断图中是否有负权欢=环，即一个点的入队次数超过N。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,len;
struct egde{int to,val,next;
}e[200100];
int head[200100],vis[200100],dis[200100];
void add(int from,int to,int val){e[len].to=to;e[len].val=val;e[len].next=head[from];head[from]=len;len++;
}
void spfa()
{queue<int>q;q.push(1);vis[1]=1;while(!q.empty()){int t=q.front();q.pop();vis[t]=0;for(int i=head[t];i!=-1;i=e[i].next){int s=e[i].to;if(dis[s]>dis[t]+e[i].val){dis[s]=dis[t]+e[i].val;if(vis[s]==0){q.push(s);vis[s]=1;}}}}}
int main(){int from,to,val;while(cin>>n>>m){memset(head,-1,sizeof(head));memset(vis,0,sizeof(vis));/* for(int i=1;i<=n;i++){dis[i]=99999999;}*/memset(dis,0x3f,sizeof(dis));dis[1]=0;len=1;for(int i=0;i<m;i++){cin>>from>>to>>val;add(from,to,val);}spfa();for(int i=1;i<=n;i++){cout<<dis[i]<<" ";}cout<<endl;}
}

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