常微分方程机敏问答[2] #20210619
2024-05-29 05:31:41
常微分方程机敏问答[2] #20210619
- 一阶线性ODE
- 答案
- 换元法
- 答案
- 积分因子法
- 答案
- 应用举例
- 答案
本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。
万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）
一阶线性ODE
- 一阶齐次线性ODE的解如果有一点等于0，则（）（注：可以通过解的唯一性和通解的表达式说明）。这与非齐次方程中解的唯一性有何联系？请验证Dy:=dy/dx+p(x)yDy:= dy/dx+p(x)yDy:=dy/dx+p(x)y中的DDD是线性算子，即D(ay+bz)=aDy+bDzD(ay+bz)=aDy+bDzD(ay+bz)=aDy+bDz.
- 若y′+p(x)y=q(x)y'+p(x)y=q(x)y′+p(x)y=q(x)中p,qp,qp,q都是周期为TTT的函数，已知非齐次方程解f(x)f(x)f(x)，那么f(x+T)f(x+T)f(x+T)也是解。这个结论和自治系统有何联系和区别？对f(0)=f(T)f(0)=f(T)f(0)=f(T)的情况，有什么结论？（提示：现在知道了两个非齐次方程的解，你想做什么？）
- 若1.中q(x)=0q(x)=0q(x)=0，请直接由通解的形式得到方程非零解以TTT为周期的充要条件。
- 利用2.，当q(x)q(x)q(x)不恒为0时，如果有两个不同的TTT周期解，则有什么结论？
- 由于通解公式中出现e−∫pdxe^{-\int pdx}e−∫pdx，所以把tanx,1/(1−x2)tanx,1/(1-x^2)tanx,1/(1−x2)等函数作为ppp就成了出题的合理选择。请背诵上述两者的不定积分。
- 将y′=1/cosy+xtanyy'=1/cosy+xtanyy′=1/cosy+xtany换元化为一阶线性ODE. 3xy2y′+y3+x33xy^2y'+y^3+x^33xy2y′+y3+x3除了直接用u=y3,u′=3y2y′u=y^3,u'=3y^2y'u=y3,u′=3y2y′换元外，还可以化成什么样的一阶线性ODE？（写出一种）
- 简述一阶线性ODE的积分因子解法怎么推广到不等式的证明。
- fff在R\mathbb RR上有界时，e−x∫−∞xf(s)esds=∫0exf(lny)dy/exe^{-x}\int_{-\infty}^x f(s)e^sds=\int_{0}^{e^x}f(lny)dy/e^xe−x∫−∞xf(s)esds=∫0exf(lny)dy/ex有界。为了考察这样的fff对应的y′+y=fy'+y=fy′+y=f的所有可能的有界解，我们可以把一阶线性ODE的通解公式改写为e−∫x1xp(s)ds(∫x0xq(s)e∫x1sp(t)dtds)e^{-\int_{x_1}^x p(s)ds}(\int_{x_0}^x q(s)e^{\int_{x_1}^s p(t)dt}ds)e−∫x1xp(s)ds(∫x0xq(s)e∫x1sp(t)dtds). 试解释之前的常数CCC体现在哪里了？
答案
- 该解恒为0. 注意两个非齐次方程的解相减等于一个齐次方程的解。
- 自治系统TTT可以为任何实数。提示：相减，得到f(0)=f(T)f(0)=f(T)f(0)=f(T)时fff为周期为TTT的周期函数。
- ppp在一个周期平均值为0.
- 一系列结论，比如：非齐次方程任意解都是周期解。（因为非齐次方程通解=齐次方程通解+非齐次方程特解）
- −ln∣cosx∣+C,12ln∣1+x1−x∣+C-ln|cosx|+C,\frac 12 ln|\frac{1+x}{1-x}|+C−ln∣cosx∣+C,21ln∣1−x1+x∣+C
- (siny)′=cosyy′(siny)'=cosyy'(siny)′=cosyy′提示我们两边乘cosycosycosy凑出(siny)′=xsiny+1(siny)'=xsiny+1(siny)′=xsiny+1. 这是一阶线性ODE.
提示：对于u′+u/x+x2=0u'+u/x+x^2=0u′+u/x+x2=0直接解出u=Cx−∫x3dx/x=Cx−x34u=\frac Cx -\int x^3 dx/x=\frac Cx-\frac{x^3}4u=xC−∫x3dx/x=xC−4x3，从而v=xy3+x44v=xy^3+\frac {x^4}4v=xy3+4x4时我们有v′=0v'=0v′=0是一阶线性ODE.（当然，这个角度有点刁钻） - 提示：凑全微分之后，以前是某表达式求导直接等于某确定的关于xxx的函数。如果改为某表达式求导大于等于0，则该表达式递增，可用于证明不等式。
- x0x_0x0是待定常数（当然，x0x_0x0取遍一切值时不一定得到所有的解）。注意x1x_1x1没有本质影响。（思考：为什么？）
换元法
- 提取出y′=f(x+y)y'=f(x+y)y′=f(x+y)换元的核心思想（什么样的系统？）。并由此求解cosyy′+cosx=(siny+sinx+x)2cosyy'+cosx=(siny+sinx+x)^2cosyy′+cosx=(siny+sinx+x)2
- y′=f(y/x)y'=f(y/x)y′=f(y/x)和0.有什么异同？
- 什么叫关于x,yx,yx,y的mmm次齐次函数？为什么两个关于x,yx,yx,y的mmm次齐次函数之商能化为f(y/x)f(y/x)f(y/x)？
- 换元u=ax+b,v=cy+d,a≠0,c≠0u=ax+b,v=cy+d,a\neq 0,c\neq 0u=ax+b,v=cy+d,a=0,c=0时dv/dudy/dx=\frac{dv/du}{dy/dx}=dy/dxdv/du=（），借此严格地求解y′=2y−x+52x−y−4y'=\frac{2y-x+5}{2x-y-4}y′=2x−y−42y−x+5.（不需显式表达yyy）
- 刚才3.中你解出的解曲线没有显式表达yyy，请解释你如何保证线素场竖直的点被挖去。
- 换元x=AuB,y=CvDx=Au^B,y=Cv^Dx=AuB,y=CvD，可以给y′+p(x)y=q(x)y'+p(x)y=q(x)y′+p(x)y=q(x)造成什么效果？给y′+y2=xmy'+y^2=x^my′+y2=xm呢？给y′=x3+xy2+xx2y+y3+yy'=\frac{x^3+xy^2+x}{x^2y+y^3+y}y′=x2y+y3+yx3+xy2+x呢？借此严格求解(x2+y2+3)y′=2x(2y−x2/y)(x^2+y^2+3)y'=2x(2y-x^2/y)(x2+y2+3)y′=2x(2y−x2/y).
- 回忆抛物线的光学性质，并解微分方程证明满足该光学性质的曲线是抛物线。
答案
- 一维自治系统u′=f(u)u'=f(u)u′=f(u).
- 都是化成f(g(x,y))f(g(x,y))f(g(x,y))再换元u=g(x,y)u=g(x,y)u=g(x,y)，但u=x+yu=x+yu=x+y时，u′=1+y′=1+f(u)u'=1+y'=1+f(u)u′=1+y′=1+f(u)直接只和uuu有关了。y/xy/xy/x求导后虽然不只显含uuu，但是分子和分母都只显含一个变量。
另外注意对于u=y/xu=y/xu=y/x，可能需要单独考虑x=0x=0x=0情况。 - P(tx,ty)=tmP(x,y)P(tx,ty)=t^mP(x,y)P(tx,ty)=tmP(x,y).
- c/ac/ac/a. u=x−1,v=y+2,vu′=2v−u2u−vu=x-1,v=y+2,v_u'=\frac{2v-u}{2u-v}u=x−1,v=y+2,vu′=2u−v2v−u
r=v/u,ru′=v′u−vu2=f(r)−ru=2r−12−r−rur=v/u,r'_u=\frac{v'u-v}{u^2}=\frac{f(r)-r}{u}=\frac{\frac{2r-1}{2-r}-r}{u}r=v/u,ru′=u2v′u−v=uf(r)−r=u2−r2r−1−r
注：原始的方程等价于：在u≠0u\neq 0u=0时dr/du=r2−1(2−r)udr/du=\frac{r^2-1}{(2-r)u}dr/du=(2−r)ur2−1，且在u=0u=0u=0时满足原始方程。
因上述注，我们首先考虑曲线是原方程解的必要条件。
若解曲线上存在任何r=1,−1r=1,-1r=1,−1的点，则根据唯一性定理，这样的解只能是y=x−3(x≠1)y=x-3(x\neq1)y=x−3(x=1)或y=−x−1(x≠1)y=-x-1(x\neq 1)y=−x−1(x=1).
否则du/u=(2−r)dr(r2−1)=(1.5−1.5r+0.5+0.5r)dr(r+1)(r−1)=−1.5drr+1+0.5drr−1,r≠2,1,−1du/u=\frac{(2-r)dr}{(r^2-1)}=\frac{(1.5-1.5r+0.5+0.5r)dr}{(r+1)(r-1)}=\frac{-1.5dr}{r+1}+\frac{0.5dr}{r-1},r\neq2,1,-1du/u=(r2−1)(2−r)dr=(r+1)(r−1)(1.5−1.5r+0.5+0.5r)dr=r+1−1.5dr+r−10.5dr,r=2,1,−1
ln∣u∣=−1.5ln∣r+1∣+0.5ln∣r−1∣+Cln|u|=-1.5ln|r+1|+0.5ln|r-1|+Cln∣u∣=−1.5ln∣r+1∣+0.5ln∣r−1∣+C
∣x−1∣=A∣y+2x−1+1∣−1.5∣y+2x−1−1∣0.5|x-1|=A|\frac{y+2}{x-1}+1|^{-1.5}|\frac{y+2}{x-1}-1|^{0.5}∣x−1∣=A∣x−1y+2+1∣−1.5∣x−1y+2−1∣0.5
1=A∣y+x+1∣−1.5∣y−x+3∣0.5,2x−y−4≠0,y+x+1≠0,y−x+3≠0,A>01=A|y+x+1|^{-1.5}|y-x+3|^{0.5},2x-y-4\neq0,y+x+1\neq0,y-x+3\neq0,A>01=A∣y+x+1∣−1.5∣y−x+3∣0.5,2x−y−4=0,y+x+1=0,y−x+3=0,A>0
当然，以上可以总结成(y+x+1)3=C(y−x+3),x≠1,2x−y−4≠0,C∈R(y+x+1)^3=C(y-x+3),x\neq 1,2x-y-4\ne 0,C\in\mathbb R(y+x+1)3=C(y−x+3),x=1,2x−y−4=0,C∈R或y−x+3=0,x≠1,2x−y−4≠0y-x+3=0,x\neq 1,2x-y-4\ne 0y−x+3=0,x=1,2x−y−4=0.
注：C=0C=0C=0的情况就是y+x+1=0y+x+1=0y+x+1=0.
根据x=1x=1x=1处的连续性，解曲线是原方程解的一个必要条件是(y+x+1)3=C(y−x+3),C∈R,2x−y−4≠0(y+x+1)^3=C(y-x+3),C\in\mathbb R,2x-y-4\ne 0(y+x+1)3=C(y−x+3),C∈R,2x−y−4=0或y−x+3=0,2x−y−4≠0y-x+3=0,2x-y-4\ne0y−x+3=0,2x−y−4=0. 而这也是充分条件，这就严格进行了求解。 - 始终保证右侧分母2x−y−42x-y-42x−y−4不为0即可。
- CDvD−1v′ABuB−1+p∗(u)CvD=q∗(u),u1−Bv′+p∗∗(u)v=q∗∗(u)v1−D\frac{CDv^{D-1}v'}{ABu^{B-1}}+p^*(u) Cv^D=q^*(u),u^{1-B}v'+p^{**}(u)v=q^{**}(u)v^{1-D}ABuB−1CDvD−1v′+p∗(u)CvD=q∗(u),u1−Bv′+p∗∗(u)v=q∗∗(u)v1−D.
CDvD−1v′ABuB−1+C2v2D=AmuBm\frac{CDv^{D-1}v'}{ABu^{B-1}}+C^2v^{2D}=A^mu^{Bm}ABuB−1CDvD−1v′+C2v2D=AmuBm，考虑1−B=Bm,D−1=2D1-B=Bm,D-1=2D1−B=Bm,D−1=2D则K1v′+K2uB−1=K3v−2D,K1v′+K2u−m/(m+1)=K3v2K_1v'+K_2u^{B-1}=K_3v^{-2D},K^1v'+K_2u^{-m/(m+1)}=K_3v^2K1v′+K2uB−1=K3v−2D,K1v′+K2u−m/(m+1)=K3v2.
略。
y≠0y\ne 0y=0，换元u=x2+2,v=y2+1u=x^2+2,v=y^2+1u=x2+2,v=y2+1得到(u+v)dv=2(2v−u)du(u+v)dv=2(2v-u)du(u+v)dv=2(2v−u)du.
令t=u/vt=u/vt=u/v，则v≠0v\ne0v=0时tv′=t+14−2t−tvt'_v=\frac{\frac{t+1}{4-2t}-t}{v}tv′=v4−2tt+1−t，下略。 - 2arctany′=arctan(−x/y),−x/y=2y′/(1−y′2),y′2x/y−2y′−x/y=02arctan y'=arctan(-x/y),-x/y=2y'/(1-y'^2),y'^2x/y-2y'-x/y=02arctany′=arctan(−x/y),−x/y=2y′/(1−y′2),y′2x/y−2y′−x/y=0
y′=1±1+x2/y2x/y=y/x±y2/x2+1:=f±(y/x)=f±(u)y'=\frac{1\pm\sqrt{1+x^2/y^2}}{x/y}=y/x\pm\sqrt{y^2/x^2+1}{}:=f_\pm(y/x)=f_\pm(u)y′=x/y1±1+x2/y2=y/x±y2/x2+1:=f±(y/x)=f±(u)
ux′=y′−ux,dx/x=du/(±u2+1),ln∣x∣=±ln(u+u2+1)+Cu'_x=\frac{y'-u}{x},dx/x=du/(\pm\sqrt{u^2+1}),ln|x|=\pm ln(u+\sqrt{u^2+1})+Cux′=xy′−u,dx/x=du/(±u2+1),ln∣x∣=±ln(u+u2+1)+C
x=A(u2+1±u),(x±Ay/x)2=A2(y2/x2+1),x2±2Ay=A2x=A(\sqrt{u^2+1}\pm u),(x\pm Ay/x)^2=A^2(y^2/x^2+1),x^2\pm2Ay=A^2x=A(u2+1±u),(x±Ay/x)2=A2(y2/x2+1),x2±2Ay=A2
注：根据实际意义，可能需要决定正负号，此处略。
积分因子法
- 对于xy′+ayxy'+a yxy′+ay结构，两项的xxx次数差一提示我们考虑形如（）的积分因子。求解出待定系数即可。
- 直接写出Pdx+Qdy=0Pdx+Qdy=0Pdx+Qdy=0恰当的充要条件和μPdx+μQdy=0\mu Pdx+\mu Qdy=0μPdx+μQdy=0恰当的充要条件。若代入μ=μ(x)\mu=\mu(x)μ=μ(x)（即μ\muμ与yyy无关）则如何？
- 把上面的μ(x)\mu(x)μ(x)改为μ(ϕ(x,y))\mu(\phi(x,y))μ(ϕ(x,y))（复合函数）则如何？
- μ(Pdx+Qdy)=dF,λ(Rdx+Sdy)=dG\mu(Pdx+Qdy)=dF,\lambda(Rdx+Sdy)=dGμ(Pdx+Qdy)=dF,λ(Rdx+Sdy)=dG，那么怎么处理(P+R)dx+(Q+S)dy(P+R)dx+(Q+S)dy(P+R)dx+(Q+S)dy？
- P,QP,QP,Q是齐nnn次函数则Pdx+Qdy=0Pdx+Qdy=0Pdx+Qdy=0有积分因子（）。解释证明过程用到的ntn−1P(x,y)=(tn)′P(x,y)=dP(tx,ty)/dt=x∂xP∣(tx,ty)+y∂yP∣(tx,ty)=tn−1(x∂xP∣(x,y)+y∂yP∣(x,y))nt^{n-1}P(x,y)=(t^n)'P(x,y)=dP(tx,ty)/dt=x\partial_x P|_{(tx,ty)}+y\partial_y P|_{(tx,ty)}=t^{n-1}(x\partial_xP|_{(x,y)}+y\partial_yP|_{(x,y)})ntn−1P(x,y)=(tn)′P(x,y)=dP(tx,ty)/dt=x∂xP∣(tx,ty)+y∂yP∣(tx,ty)=tn−1(x∂xP∣(x,y)+y∂yP∣(x,y))。（下标表示求偏导）
- 假设ODE的一族解是F(x,y)=CF(x,y)=CF(x,y)=C，若CCC表示”高度“，此时解曲线的直观意义是什么？
答案
- xbx^bxb
- Py=Qx,(μP)y=(μQ)xP_y=Q_x,(\mu P)_y=(\mu Q)_xPy=Qx,(μP)y=(μQ)x（下标表示偏导），Qμx=μ(Py−Qx),(ln∣μ∣)x=μx/μ=(Py−Qx)/QQ\mu_x=\mu(P_y-Q_x),(ln|\mu|)_x=\mu_x/\mu=(P_y-Q_x)/QQμx=μ(Py−Qx),(ln∣μ∣)x=μx/μ=(Py−Qx)/Q，如果右侧只和xxx有关就找到了积分因子μ\muμ.
- 略。
- μ\muμ是积分因子则Φ(F)μ\Phi(F)\muΦ(F)μ根据链式法则也是。所以考虑Φ,Ψ\Phi,\PsiΦ,Ψ使得μΦ(F)=λΨ(G)\mu\Phi(F)=\lambda\Psi(G)μΦ(F)=λΨ(G).
- (xP+yQ)−1(xP+yQ)^{-1}(xP+yQ)−1. 第二个等号：直接考虑P((t+Δt)x,(t+Δt)y)=(t+Δt)nP(x,y)P((t+\Delta t)x,(t+\Delta t)y)=(t+\Delta t)^n P(x,y)P((t+Δt)x,(t+Δt)y)=(t+Δt)nP(x,y). 第三个等号：多元微分链式法则。第四个等号：直接根据定义验证。
- 等高线。（等高，即dF=0dF=0dF=0. 因此直观上我们相信有积分因子）
应用举例
- 回忆由单参数曲线族Φ(x,y;C)=0\Phi(x,y;C)=0Φ(x,y;C)=0如何决定对称形式的微分方程Pdx+Qdy=0Pdx+Qdy=0Pdx+Qdy=0，以及原始形式的微分方程y′=H(x,y)y'=H(x,y)y′=H(x,y)，并请由此直接写出“正交轨线”满足什么微分方程。
- 2ydx−xdy=02ydx-xdy=02ydx−xdy=0的正交轨线族满足什么对称形式的微分方程？
- 求与xy=Cxy=Cxy=C相交始终成π/4\pi/4π/4的曲线族。
- 已知x′=x(−1+y),y′=y(1−x)x'=x(-1+y),y'=y(1-x)x′=x(−1+y),y′=y(1−x)的解曲线是某个第一象限点附近的一族闭轨，利用(lnx)′(lnx)'(lnx)′和(lny)′(lny)'(lny)′表达式说明一个周期内yyy的平均值yˉ\bar yyˉ对一切闭轨为定值。
- 请形式上把y′=y/(x+y2)y'=y/(x+y^2)y′=y/(x+y2)化为x′=f(x,y)x'=f(x,y)x′=f(x,y).
平面上，PPP从原点出发，以匀速1向右运动，QQQ从(0,1)(0,1)(0,1)出发以匀速2追赶PPP，速度方向永远指向PPP，则考察QQQ相对于PPP坐标(x,y)(x,y)(x,y)，有(xt′,yt′)=(x'_t,y'_t)=(xt′,yt′)=（），现请利用前面的提示，考察xy′x'_yxy′，并利用积分因子法一节的0.进行求解。
答案
- 求导后联立消CCC. y′=−1/H(x,y)y'=-1/H(x,y)y′=−1/H(x,y).
注：如果使用对称形式，则无需考虑分母为0的特例。 - xdx+2ydy=0xdx+2ydy=0xdx+2ydy=0（同心椭圆）
- 对xdy+ydx=0xdy+ydx=0xdy+ydx=0，形式上y′=−y/xy'=-y/xy′=−y/x，则旋转π/4\pi/4π/4后y′=tan(arctany′±π/4)=−y±xx±yy'=tan(arctany'\pm \pi/4)=\frac{-y\pm x}{x\pm y}y′=tan(arctany′±π/4)=x±y−y±x，(x±y)dy+(y∓x)dx=0(x\pm y)dy+(y\mp x)dx=0(x±y)dy+(y∓x)dx=0
对于第一种情况，d(xy+y22−x22)=0d(xy+\frac{y^2}2-\frac{x^2}2)=0d(xy+2y2−2x2)=0，第二种情况略。 - 一个周期中，0=Δ(lnx)=∫x′/x=∫(−1+y)=−T+Tyˉ0=\Delta(lnx)=\int x'/x=\int(-1+y)=-T+T\bar y0=Δ(lnx)=∫x′/x=∫(−1+y)=−T+Tyˉ
- x′=x/y+yx'=x/y+yx′=x/y+y（为一阶线性ODE）
(−1−2xx2+y2,−2yx2+y2)(-1-\frac{2x}{\sqrt{x^2+y^2}},-\frac{2y}{\sqrt{x^2+y^2}})(−1−x2+y22x,−x2+y22y)
xy′=−r−2x−2y,−r−2x+2yxy′=0,(x/y)y′y2=yxy′−x=r/2=y2(1+(x/y)2)2x'_y=\frac{-r-2x}{-2y},-r-2x+2yx'_y=0,(x/y)'_yy^2=yx'_y-x=r/2=\frac{\sqrt{y^2(1+(x/y)^2)}}2xy′=−2y−r−2x,−r−2x+2yxy′=0,(x/y)y′y2=yxy′−x=r/2=2y2(1+(x/y)2)，此时x/yx/yx/y可以换元为uuu.
常微分方程机敏问答[2] #20210619相关推荐
- 机敏问答[复变][5] #20210629
机敏问答[复变][5] #20210629 Cousin问题 答案 留数 答案 辐角原理与Rouche定理 答案 幂级数延拓 答案 对称延拓 答案 本专栏主要作个人复习自测,有相关知识预备的同学也可作 ...
- 机敏问答[复变][3] #20210626
机敏问答[复变][3] #20210626 连续性方法 答案 值域的考察 答案 平均值原理和平均值不等式 答案 确定所有可能解析函数 答案 本专栏主要作个人复习自测,有相关知识预备的同学也可作复习用. ...
- 机敏问答[复变][4] #20210627
机敏问答[复变][4] #20210627 平方可积解析函数 答案 Schwarz引理和双曲几何 答案 非负调和函数 答案 洛朗展开 答案 孤立奇点 答案 整函数 答案 亚纯函数 答案 本专栏主要作个 ...
- 机敏问答[复变][2] #20210616
机敏问答[复变][2] #20210616 柯西定理 答案 柯西公式 答案 判定解析函数为常数 答案 Morera定理 答案 最大模原理 答案 代数基本定理 答案 本专栏主要作个人复习自测,有相关知识 ...
- 机敏问答[常微][5] #20210622
机敏问答[常微][5] #20210622 常系数齐次线性微分方程组 答案 高阶线性微分方程式 答案 本专栏主要作个人复习自测,有相关知识预备的同学也可作复习用.不保证无相应基础的人士能看明白. 万一 ...
- 机敏问答[概率][0] #20210617
机敏问答[概率][0] #20210617 期望.尾分布与阿贝尔变换 答案 随机变量函数的期望 答案 条件期望 答案 本专栏主要作个人复习自测,有相关知识预备的同学也可作复习用.不保证无相应基础的人士 ...
- 机敏问答[复变][1] #20210615
机敏问答[复变][1] #20210615 幂级数 答案 多值函数与反函数 答案 分式线性变换 答案 开映射定理 答案 本专栏主要作个人复习自测,有相关知识预备的同学也可作复习用.不保证无相应基础的人 ...
- 机敏问答[博弈][2] #20210629
机敏问答[博弈][2] #20210629 讨价还价 答案(仅供参考) 重复博弈 答案(仅供参考) 本专栏主要作个人复习自测,有相关知识预备的同学也可作复习用.不保证无相应基础的人士能看明白. 万一考 ...
- 知道古埃及人是怎么做乘法的么？
今天坐在226公交车上,无聊的看着昨天从图书馆借来的<机敏问答--数学>.小学生看了这篇文章一定会感谢我,因为他们不用再在家长的"残酷"要求下,没人没夜的背着乘法口诀了 ...
最新文章
- 几个比较实用的CSS
- 初中计算机基础知识说课稿,计算机基础知识说课稿
- Py之gensim：gensim的简介、安装、使用方法之详细攻略
- 「 每日一练，快乐水题 」2006. 差的绝对值为 K 的数对数目
- Qt5 中 关于Widget Mapper的简单应用
- P2782 友好城市
- rust 编程入门_面向初学者的Rust –最受欢迎的编程语言入门
- 建模大师怎么安装到revit中_工程师最爱的REVIT插件，让BIM建模溜到飞起！
- Oracle_linux_lesson_p2
- python程序设计课后答案第二版_智慧职教APPPython程序设计（深圳信息职业技术学院)课后答案...
- 【Flutter】微信项目实战【03】我的界面搭建(下)
- 一次完整的 Http 请求过程
- Qt设计师的简单使用（ui设计界面的简单使用）
- OpenModelica.VehicleInterfaces离线库安装
- heka 输出到mysql_heka - 基于Go开发的日志收集工具，可用Go或lua开发插件
- 51单片机ADDA数模转换
- 做谷粒商城电脑配置不够怎么办？
- 基于STM32设计的云端健康管理系统(采用阿里云物联网平台)
- 长春师范大学计算机科学与技术团委,计算机科学与技术系团总支学生分会纳新公告...
- 为VMware vSphere创建Ubuntu 16.04 Terraform模板