Making Shapes

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相当有趣的数位dpdpdp题。

我们记cic_ici表示第iii个向量选了多少个。
显然，无论我们如何选择向量，只要我们将所有的向量极角排序，就可以得到这些向量构造的唯一凸多边形，当然需要满足∑ci(xi,yi)=0\sum c_i(x_i,y_i)=0∑ci(xi,yi)=0
整个凸包的宽度应该L=∑ci[xi>0]∣xi∣=∑ci[xi<0]∣xi∣L=\sum c_i[x_i>0]|x_i|=\sum c_i[x_i<0]|x_i|L=∑ci[xi>0]∣xi∣=∑ci[xi<0]∣xi∣，高度同理。
我们需要让这个值小于mmm，且等式两边的值相等。

我们不妨记A=∑ci[xi>0]∣xi∣,B=∑ci[xi<0]∣xi∣,C=∑ci[yi>0]∣yi∣,D=∑ci[yi<0]∣yi∣A=\sum c_i[x_i>0]|x_i|,B=\sum c_i[x_i<0]|x_i|,C=\sum c_i[y_i>0]|y_i|,D=\sum c_i[y_i<0]|y_i|A=∑ci[xi>0]∣xi∣,B=∑ci[xi<0]∣xi∣,C=∑ci[yi>0]∣yi∣,D=∑ci[yi<0]∣yi∣。
我们可以将ccc二进制拆分后来统计，这样的话我们就能够一位一位得比较A,B,C,DA,B,C,DA,B,C,D。
由于A,B,C,DA,B,C,DA,B,C,D可能即使只在当前位加，也有可能得到比较大的结果，我们显然不能只存111位，得多存几位。
这样一来，如果从高位向低位枚举，每一位就有可能用满555位，空间比较大。
我们可以从低位向高位枚举，这样每一位上最多只需要记录3(4+4+3+3)2=21\frac{3(4+4+3+3)}{2}=2123(4+4+3+3)=21了，空间也能承受。
但由于是低位向高位，还需要注意下面的部分是否超过了mmm的低位部分，如果超过了，高位就必须小于mmm的高位了。
记dpi,A,B,C,D,fx,fydp_{i,A,B,C,D,f_x,f_y}dpi,A,B,C,D,fx,fy表示ccc的二进制为枚举到了第iii位，四个值分别为A,B,C,DA,B,C,DA,B,C,D，关于低位超过mmm的情况是fx,fyf_x,f_yfx,fy。
可以用记忆化搜索更新dpdpdp值，每一位转移就枚举ccc该位的状态就行了。

时间复杂度O(214×22log⁡m)O\left(21^4\times 2^2\log\,m\right)O(214×22logm)。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 100005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pii;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mo=998244353;
const int mod=1e9+7;
const int inv2=5e8+4;
const int jzm=2333;
const int zero=100000;
const int n1=1000;
const int lim=100000000;
const int orG=3,ivG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-6;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){_T f=1;x=0;char s=getchar();while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1)t=1ll*t*a%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;}return t;}
int n,m,dp[35][23][23][23][23][2][2],a[10],b[10];
int sakura(int id,int px,int py,int nx,int ny,bool fx,bool fy){if(id==30)return px==nx&&py==ny&&(px+fx<=((m>>id)&15))&&(py+fy<=((m>>id)&15));if(~dp[id][px][py][nx][ny][fx][fy])return dp[id][px][py][nx][ny][fx][fy];int res=0,up=(m>>id)&1;for(int i=0;i<(1<<n);i++){int tpx=px,tpy=py,tnx=nx,tny=ny;bool ffx=fx,ffy=fy;for(int j=1;j<=n;j++)if((i>>j-1)&1){if(a[j]>0)tpx+=a[j];else tnx-=a[j];if(b[j]>0)tpy+=b[j];else tny-=b[j];}if((tpx&1)^(tnx&1))continue;if((tpy&1)^(tny&1))continue;if(up<(tpx&1))ffx=1;if(up>(tpx&1))ffx=0;if(up<(tpy&1))ffy=1;if(up>(tpy&1))ffy=0;Add(res,sakura(id+1,tpx>>1,tpy>>1,tnx>>1,tny>>1,ffx,ffy),mo);}dp[id][px][py][nx][ny][fx][fy]=res;return res;
}
signed main(){read(n);read(m);memset(dp,-1,sizeof(dp));for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]),read(b[i]);printf("%d\n",add(sakura(0,0,0,0,0,0,0),mo-1,mo));return 0;
}

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