Latin方及Hadamard矩阵

Latin方：N个元素在N*N的矩阵中每一行每一列仅仅出现一次。

普通Latin方的构造：

int g[105][105];
void paint(int n){for(int i=1;i<=n;i++){g[1][i]=i;}for(int i=2;i<=n;i++){for(int j=n;j>1;j--){g[i][j]=g[i-1][j-1];}g[i][1]=g[i-1][n];}
}

正交拉丁方：

设 $A=(a_{ij})$ ， $B=(b_{ij})$ 是两个N阶拉丁方。同一位置上的数字配对后，有序数对全部互异。那么AB正交。

1，2，6阶的拉丁方是没有正交的。

4阶正交阵：

(4.1)(3.3)(2.4)(1.2)

(2.2)(1.4)(4.3)(3.1)

(1.3)(2.1)(3.2)(4.4)

(3.4)(4.2)(1.1)(2.3)

如果，n>=3，n=pa，p是一个素数，a是一个正整数，那么有n-1个正交的拉丁方。

构造：

第i个矩阵：

$// /begin{matrix} 1 & 2& 3& /cdots &n// /vdots// a_1 & a_2 & a_3 & /cdots &a_n// (a_n+i+1)/%n & (a_1+1)/%n & (a_2+1)/%n & /cdots &(a_{n-1}+1)/%n// /vdots/end{matrix}$

void paint(int n){for(int i=1;i<=n-1;i++){cout<<"matrix: "<<i<<endl;for(int j=1;j<=n;j++)  cout<<j<<" ";  cout<<endl;int last=n;for(int ii=2;ii<=n;ii++){int first=last+i+1;while(first>n) first-=n;  // 避免n变成0for(int j=first;j<=n;j++) cout<<j<<" ";for(int j=1;j<first;j++) cout<<j<<" ";cout<<endl;last=first-1;}}
}

Hadamard矩阵：设矩阵H满足 $// HH^{T}=nI$ ，且所有的元素是1或者-1，那么H即是hadamard矩阵。

它的性质（我暂时听说有这三条）：

Hn为正交方阵，所谓正交矩阵指它的任意两行（或两列）都是正交的；

任意一行（列）的所有元素的平方和等于方阵的阶数；

Hadamard矩阵的阶数都是2或者是4的倍数。

递归方法构造（2阶H原始矩阵在1区）：

3区 | 4区

------------

1区 | 2区

（我表示这种构造方法我看的似懂非懂~）

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int H[2][2]={
1,1,
1,-1
};
int dfs(int x,int y){if(x<2 && y<2) return H[x][y];int i=0,j=0;if(x>=2){i=1;while(i*2<=x) i=i<<1;x-=i;}if(y>=2){j=1;while(j*2<=y) j=j<<1;y-=j;}if(i==j) return -dfs(x,y);  // 4else if(i>j) return dfs(x,y+j);  // 3else return dfs(x+i,y);  // 2
}
int g[105][105],g2[105][105],g3[105][105];
int main()  // g为hadamard矩阵 g2为其转置  g3为相乘后的结果
{int n;while(cin>>n){for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++){g[i][j]=dfs(i,j);}}for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++){g2[j][i]=g[i][j];}}for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++){g3[i][j]=0;for(int k=0;k<n;k++){g3[i][j]+=g[i][k]*g2[k][j];}cout<<g3[i][j]<<" ";}cout<<endl;}}return 0;
}

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