一.非线性规划的标准型

1.概述

2.例题

3.MATLAB的非线性规划的函数

[x,fval] = fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@nonlfun,option)

解释：

1. 非线性规划中对于初始值xxx₀的选取非常重要，因为非线性规划的算法求解出来的是一个局部最优解
2. 如果要求“全局最优解”有两种思路：①给定不同的初始值,在里面得到一个最优解,②先用蒙特卡洛模拟,得到一个蒙特卡洛解,然后将这个解作为初始值求最优解
3. "option""option""option"选项可以给定求解的算法,一共有四种:interior−pointinterior-pointinterior−point（内点法）,sqpsqpsqp（序列二次规划）,active−setactive-setactive−set（有效算法）以及trust−region−reflectivetrust-region-reflectivetrust−region−reflective（信赖域反射算法）
4. 不同算法有其各自的优缺点和适用情况，我们可以改变求解的算法来看求解的结果是否变好了，（数模比赛中可以尝试下，这可以体现出稳健性）
5. “@fun”“@fun”“@fun”表示目标函数，我们要编写一个独立的“m文件”储存目标函数

function F = fun(x)f=
end

①fun可以任意取值，符合MATLAB的命名规范就行，注意保存的m文件就是这个名字
②f也可以任意命名，但是返回的f和函数内部的f一致
③这里的x实际上是表示决策变量的向量，其行列方向取决于初始值x
④调用函数：fmincon（@fun，……）求解

1. “@nonlfun”表示非线性部分的约束，我们也编写一个“m文件”

function [c,ceq] = nonlfun1(x)% 注意：这里的c实际上就是非线性不等式约束，ceq实际上就是非线性等式约束% 输入值x实际上就是决策变量，由x1和x2组成的一个向量% 返回值有两个，一个是非线性不等式约束c，一个是非线性等式约束ceq% nonlfun1是函数名称，到时候会被fmincon函数调用, 可以任意取名，但不能和目标函数fun1重名% 保存的m文件和函数名称得一致，也要为nonlfun1.mc = ceq = [];
end

①c，ceq中可能有多个约束，我们写成列向量的形式
②[x,fval] = fmincon(@fun1,x0,A,b,[],[],[][],@nonlfun1,option)

1. 注意要把下标写在括号里
2. 若不存在某种约束，则可用“[]”代替

4.基础例题

function [c,ceq] = nonlfun2(x)% 非线性不等式约束c = [-x(1)^2+x(2)-x(3)^2;   % 一定要注意写法的规范，再次强调这里的x是一个向量！不能把x(1)写成x1x(1)+x(2)^2+x(3)^2-20];% 非线性等式约束ceq = [-x(1)-x(2)^2+2;x(2)+2*x(3)^2-3];
end

【1】默认方法求例1

function [c,ceq] = nonlfun1(x)% 注意：这里的c实际上就是非线性不等式约束，ceq实际上就是非线性等式约束% 输入值x实际上就是决策变量，由x1和x2组成的一个向量% 返回值有两个，一个是非线性不等式约束c，一个是非线性等式约束ceq% nonlfun1是函数名称，到时候会被fmincon函数调用, 可以任意取名，但不能和目标函数fun1重名% 保存的m文件和函数名称得一致，也要为nonlfun1.m
%     -(x1-1)^2 +x2 >= 0 c = [(x(1)-1)^2-x(2)];   % 千万別写成了: (x1-1)^2 -x2ceq = [];  % 不存在非线性等式约束，所以用[]表示
end

function f = fun1(x)% 注意：这里的f实际上就是目标函数，函数的返回值也是f% 输入值x实际上就是决策变量，由x1和x2组成的向量% fun1是函数名称，到时候会被fmincon函数调用, 可以任意取名% 保存的m文件和函数名称得一致，也要为fun1.m
%      max  f(x) = x1^2 +x2^2 -x1*x2 -2x1 -5x2f = -x(1)^2-x(2)^2 +x(1)*x(2)+2*x(1)+5*x(2) ;
end

%% 例题1的求解
% max f(x) = x1^2 +x2^2 -x1*x2 -2x1 -5x2
% s.t. -(x1-1)^2 +x2 >= 0 ;  2x1-3x2+6 >= 0
x0 = [0 0];  %任意给定一个初始值
A = [-2 3]; b = 6;
[x,fval] = fmincon(@fun1,x0,A,b,[],[],[],[],@nonlfun1)  % 注意 fun1.m文件和nonlfun1.m文件都必须在当前文件夹目录下
fval = -fval
% 一个值得讨论的地方，能不能把线性不等式约束Ax <= b也写到nonlfun1函数中？
% 先把nonlfun1中的c改为下面这样：
% c = [(x(1)-1)^2-x(2);
%        -2*x(1)+3*x(2)-6];
%  [x,fval] = fmincon(@fun1,x0,[],[],[],[],[],[],@nonlfun1)
% 结果也是可以计算出来的，但并不推荐这样做~

【2】用其他方法求例2

%% 使用其他算法对例题1求解
% edit fmincon  % 查看fmincon的“源代码”
% Matlab2017a默认使用的算法是'interior-point' 内点法
% 使用interior point算法 （内点法）
option = optimoptions('fmincon','Algorithm','interior-point')
[x,fval] = fmincon(@fun1,x0,A,b,[],[],[],[],@nonlfun1,option)
fval = -fval
% 使用SQP算法 （序列二次规划法）
option = optimoptions('fmincon','Algorithm','sqp')
[x,fval] = fmincon(@fun1,x0,A,b,[],[],[],[],@nonlfun1,option)
fval = -fval   %得到-4.358，远远大于内点法得到的-1,猜想是初始值的影响
% 改变初始值试试
x0 = [1 1];  %任意给定一个初始值
[x,fval] = fmincon(@fun1,x0,A,b,[],[],[],[],@nonlfun1,option)  % 最小值为-1，和内点法相同（这说明内点法的适应性要好）
fval = -fval
% 使用active set算法 （有效集法）
option = optimoptions('fmincon','Algorithm','active-set')
[x,fval] = fmincon(@fun1,x0,A,b,[],[],[],[],@nonlfun1,option)
fval = -fval
% 使用trust region reflective (信赖域反射算法)
option = optimoptions('fmincon','Algorithm','trust-region-reflective')
[x,fval] = fmincon(@fun1,x0,A,b,[],[],[],[],@nonlfun1,option)
fval = -fval
% this algorithm does not solve problems with the constraints you have specified.
% 这说明这个算法不适用我们这个约束条件，所以以后遇到了不能求解的情况，记得更换其他算法试试！！！

【3】改变初始值的影响

%% 生成不同的随机初始值来优化代码，有一定几率会触发上面那个Bug，因此不推荐
n = 10;  % 重复n次
Fval = +inf; X = [0,0];  %初始化最优的结果
A = [-2 3]; b = 6;
for i = 1:nx0 = [rand()*10 , rand()*10];  %用随机数生成一个初始值（随机数的范围自己根据题目条件设置） [x,fval] = fmincon(@fun1,x0,A,b,[],[],[],[],@nonlfun1,option); % 注意 fun1.m文件和nonlfun1.m文件都必须在当前文件夹目录下if fval < Fval  % 如果找到了更小的值，那么就代替最优的结果Fval = fval;X = x;end
end
Fval = -Fval
X

【4】使用蒙特卡罗的方法来找初始值(推荐）

%% 使用蒙特卡罗的方法来找初始值(推荐）
clc,clear;
n=10000000; %生成的随机数组数
x1=unifrnd(-100,100,n,1);  % 生成在[-100,100]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x1
x2=unifrnd(-100,100,n,1);  % 生成在[-100,100]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x2
fmin=+inf; % 初始化函数f的最小值为正无穷（后续只要找到一个比它小的我们就对其更新）
for i=1:nx = [x1(i), x2(i)];  %构造x向量, 这里千万别写成了：x =[x1, x2]if ((x(1)-1)^2-x(2)<=0)  & (-2*x1(i)+3*x2(i)-6 <= 0)     % 判断是否满足条件result = -x(1)^2-x(2)^2 +x(1)*x(2)+2*x(1)+5*x(2) ;  % 如果满足条件就计算函数值if  result  < fmin  % 如果这个函数值小于我们之前计算出来的最小值fmin = result;  % 那么就更新这个函数值为新的最小值x0 = x;  % 并且将此时的x1 x2更新为初始值endend
end
disp('蒙特卡罗选取的初始值为：'); disp(x0)
A = [-2 3]; b = 6;
[x,fval] = fmincon(@fun1,x0,A,b,[],[],[],[],@nonlfun1)
fval = -fval  

【5】其他例题的求解

function f = fun2(x)%     f = x(1)^2+x(2)^2 +x(3)^2+8 ; f = sum(x.*x) + 8;  % 可别忘了x实际上是一个向量，我们可以使用矩阵的运算符号对其计算
end

function [c,ceq] = nonlfun2(x)% 非线性不等式约束c = [-x(1)^2+x(2)-x(3)^2;   % 一定要注意写法的规范，再次强调这里的x是一个向量！不能把x(1)写成x1x(1)+x(2)^2+x(3)^2-20];% 非线性等式约束ceq = [-x(1)-x(2)^2+2;x(2)+2*x(3)^2-3];
end

%% 例题二的求解
x0 = [1 1 1];  %任意给定一个初始值
lb = [0 0 0];  % 决策变量的下界
[x,fval] = fmincon(@fun2,x0,[],[],[],[],lb,[],@nonlfun2)  % 注意 fun2.m文件和nonfun2.m文件都必须在当前文件夹目录下
% x =
%          0.552167405729277          1.20325915507969         0.947824046150443
% fval =
%           10.6510918606939%% 使用蒙特卡罗的方法来找初始值(推荐）
clc,clear;
n=1000000; %生成的随机数组数
x1= unifrnd(0,2,n,1);   % 生成在[0,2]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x1
x2 = sqrt(2-x1);  % 根据非线性等式约束用x1计算出x2
x3 = sqrt((3-x2)/2); % 根据非线性等式约束用x2计算出x3
fmin=+inf; % 初始化函数f的最小值为正无穷（后续只要找到一个比它小的我们就对其更新）
for i=1:nx = [x1(i), x2(i), x3(i)];  %构造x向量, 这里千万别写成了：x =[x1, x2, x3]if (-x(1)^2+x(2)-x(3)^2<=0) & (x(1)+x(2)^2+x(3)^2-20<=0)   % 判断是否满足条件result =sum(x.*x) + 8 ;  % 如果满足条件就计算函数值if  result  < fmin  % 如果这个函数值小于我们之前计算出来的最小值fmin = result;  % 那么就更新这个函数值为新的最小值x0 = x;  % 并且将此时的x1 x2 x3更新为初始值endend
end
disp('蒙特卡罗选取的初始值为：'); disp(x0)
lb = [0 0 0];  % 决策变量的下界
[x,fval] = fmincon(@fun2,x0,[],[],[],[],lb,[],@nonlfun2)  % 注意 fun2.m文件和nonfun2.m文件都必须在当前文件夹目录下

function f = fun3(x)f = -prod(x);  % 可别忘了x实际上是一个向量（prod表示连乘符号，用法和sum类似）
end

%% 例题三的求解(蒙特卡罗模拟那一讲的例题)
clear;clc
% 蒙特卡罗模拟得到的最大值为3445.6014
% 最大值处x1 x2 x3的取值为：
%           22.5823101903968          12.5823101903968          12.1265223966757
A = [1 -2 -2;  1 2 2];  b = [0 72];
x0 = [ 22.58   12.58  12.13];
Aeq = [1 -1 0]; beq = 10;
lb = [-inf 10 -inf];  ub = [inf 20 inf];
[x,fval] = fmincon(@fun3,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,[])  % 注意没有非线性约束，所以这里可以用[]替代，或者干脆不写
fval = -fval

二.例题

1.选址问题

function f = fun5(xx)  % 注意为了避免和下面的x同号，我们把决策变量的向量符号用xx表示（注意xx的长度为16）a=[1.25  8.75  0.5  5.75  3  7.25];  % 工地的横坐标b=[1.25  0.75  4.75 5  6.5  7.25];   % 工地的纵坐标x = [xx(13)  xx(15)];  % 新料场的横坐标y = [xx(14)  xx(16)];  % 新料场的纵坐标c = [];  % 初始化用来保存工地和料场距离的向量 (这个向量就是我们的系数向量）for  j =1:2for i = 1:6c = [c;  sqrt( (a(i)-x(j))^2 + (b(i)-y(j))^2)];  % 每循环一次就在c的末尾插入新的元素endend% 下面我们要求吨千米数，注意c是列向量，我们计算非线性规划时给定的初始值x0是行向量f = xx(1:12) * c;
end

%% 选址问题
clear;clc
format long g   %可以将Matlab的计算结果显示为一般的长数字格式（默认会保留四位小数，或使用科学计数法）
% % (1) 系数向量（原来线性规划问题的写法,我们只需要在此基础上改动一点就可以了）
% a=[1.25  8.75  0.5  5.75  3  7.25];  % 工地的横坐标
% b=[1.25  0.75  4.75  5  6.5  7.25];   % 工地的纵坐标
% x = [5  2];  % 料场的横坐标
% y = [1  7];  % 料场的纵坐标
% c = [];  % 初始化用来保存工地和料场距离的向量 (这个向量就是我们的系数向量）
% for  j =1:2
%     for i = 1:6
%         c = [c;  sqrt( (a(i)-x(j))^2 + (b(i)-y(j))^2)];  % 每循环一次就在c的末尾插入新的元素
%     end
% end
% (2) 不等式约束
A =zeros(2,16);  % 注意这里要改成16
A(1,1:6) = 1;
A(2,7:12) = 1;
b = [20,20]';
% (3) 等式约束
Aeq = zeros(6,16);  % 注意这里要改成16
for i = 1:6Aeq(i,i) = 1;  Aeq(i,i+6) = 1;
end
beq = [3 5 4 7 6 11]';  % 每个工地的日需求量
%（4）上下界
lb = zeros(16,1);
% lb = [zeros(12,1); -inf*ones(4,1)];  两个新料场坐标的下界可以设为-inf% 进行求解
% 注意哦，这里我们只尝试了这一个初始值，大家可以试试其他的初始值，有可能能够找到更好的解。
% 未来我会在遗传算法中再来看这个例题。
x0 = [3 5 0 7 0 1 0 0 4 0 6 10 5 1 2 7];  % 用第一问的结果作为初始值
[x,fval] = fmincon(@fun5,x0,A,b,Aeq,beq,lb)  % 注意没有非线性约束，所以这里可以用[]替代，或者干脆不写
reshape(x(1:12),6,2)  % 将x的前12个元素变为6行2列便于观察（reshape函数是按照列的顺序进行转换的，也就是第一列读完，读第二列，即x1对应x_1,1，x2对应x_2,1）
% 新坐标（5.74，4.99） （7.25，7.25）
% fval =
%           89.9231692432933
% 第一问的fval =
%           135.281541790676
135.281541790676 - 89.9231692432933  %  45.3583725473827

2.飞行管理问题

function [c,ceq] = nonlfun6(delta)   % 决策变量delta为六架飞机调整的角度x = [150 85 150 145 130  0]; % 飞机初始位置的横坐标y = [140 85 155  50 150  0]; % 飞机初始位置的纵坐标theta = [243 236 220.5 159 230 52] * pi / 180; % 飞机初始的飞行方向角 v = 800;  % 飞机速度co = cos(theta + delta);  % 包含6个元素的向量si = sin(theta + delta);  % 包含6个元素的向量% 下面开始计算飞机i和j之间的最短距离（只需要计算矩阵的一半即可）d = zeros(6);  % 初始化飞机两两之间的最短距离矩阵for i = 2: 6for j = 1: i-1% 套用我们推导出来的公式计算飞机i和飞机j相距最近的时间fenzi = ((y(j)-y(i))*(si(j)-si(i)) +(x(j)-x(i))*(co(j)-co(i))) ;  % 分子fenmu =  v * ((co(j)-co(i))^2 + (si(j)-si(i))^2);  % 分母t(i,j) =- fenzi / fenmu;if t(i,j) <0  d(i, j) = 1000; % 此时最初的位置就是相距最近的点，因为最初的时候所有飞机两两之间的距离就大于8，因此未来绝不会相撞，我们令它们的距离为一个特别大的数elsed(i, j) = sqrt((x(j)-x(i)+v*t(i,j)*(co(j)-co(i)))^2+(y(j)-y(i)+v*t(i,j)*(si(j)-si(i)))^2); end endend% 非线性不等式约束c =ones(15,1)*8.000001 - [d(2,1); d(3,1:2)'; d(4,1:3)'; d(5,1:4)'; d(6,1:5)'];  % 12个非线性不等式约束: “最短距离>8” 等价于 “8 - 最短距离<0”% 注意： 由于Matlab标准型中取的是小于等于号，因此这里取一个比8略大的数：8.000001-最短距离<=0 ceq = [];  % 没有非线性等式约束
end

function f = fun6(delta)   % 决策变量delta为六架飞机调整的角度%         f =sum(abs(delta)) * 180 /  pi;   % 目标函数第一种定义：绝对值的和（将弧度转换为度数）f = sum(delta .* delta) * (180 /  pi)^2;  % 目标函数第二种定义：平方和（将弧度转换为度数）
end

%% 飞行管理问题
format long g
%%  （1）画六架飞机的位置
clear;clc
figure(1)  % 生成一个图形
box on  % 显示为封闭的盒子
% 绘制飞机的初始位置
data = [150    140 243;85  85  236;150 155 220.5;145   50  159;130 150 230;0   0   52];
plot(data(:,1),data(:,2),'.r')
axis([0 160,0,160]);% 设置坐标轴刻度范围
hold on;
% 在图上标上注释
for i = 1:6txt = ['飞机',num2str(i)];text(data(i,1)+2,data(i,2)+2,txt,'FontSize',8)
end
% 把Matlab做出来的图可以导出，然后再放到PPT中画出飞机飞行方向的箭头（就和讲义上的类似）%% 求解非线性规划问题
x0 = [0 0 0 0 0 0];  % 初始值
lb = -pi/6*ones(6,1);
ub = pi/6*ones(6,1);
[x,fval] = fmincon(@fun6,x0,[],[],[],[],lb,ub,@nonlfun6)
x = x * 180 / pi    % 将弧度转换为度数
% 定义一：fval = 3.7315°
% 定义二:  fval = 6.9547((°)^2)

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