1.比较判别法的一般形式

设f(x)f(x)f(x),g(x)g(x)g(x)在[a,+∞)[a,+\infty)[a,+∞)上连续，且0<f(x)≤g(x)0<f(x)≤g(x)0<f(x)≤g(x)。则

若∫a+∞g(x)dx\int_{a}^{+\infty} g(x) dx∫a+∞g(x)dx收敛，则有∫a+∞f(x)dx\int_{a}^{+\infty} f(x) dx∫a+∞f(x)dx收敛；

若∫a+∞f(x)dx\int_{a}^{+\infty} f(x) dx∫a+∞f(x)dx发散，则有∫a+∞g(x)dx\int_{a}^{+\infty} g(x) dx∫a+∞g(x)dx发散。

2.比较判别法的极限形式

设f(x)f(x)f(x),g(x)g(x)g(x)在[a,+∞)[a,+\infty)[a,+∞)上非负连续，lim⁡x→+∞f(x)g(x)=λ\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambdax→+∞limg(x)f(x)=λ，则

若λ>0\lambda>0λ>0，则∫a+∞f(x)dx\int_{a}^{+\infty}f(x)dx∫a+∞f(x)dx 与 ∫a+∞g(x)dx\int_{a}^{+\infty}g(x)dx∫a+∞g(x)dx敛散性相同。

若λ=0\lambda=0λ=0，且 ∫a+∞g(x)dx\int_{a}^{+\infty}g(x)dx∫a+∞g(x)dx收敛，则 ∫a+∞f(x)dx\int_{a}^{+\infty}f(x)dx∫a+∞f(x)dx 收敛。

若λ=+∞\lambda=+\inftyλ=+∞，且 ∫a+∞g(x)dx\int_{a}^{+\infty}g(x)dx∫a+∞g(x)dx发散，则 ∫a+∞f(x)dx\int_{a}^{+\infty}f(x)dx∫a+∞f(x)dx 发散。

3.常用结论

①常用反常积分一（p积分）

对反常积分∫a+∞1xpdx\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx∫a+∞xp1dx，(a>0)

若p>1p>1p>1，则该反常积分收敛；

若p≤1p≤1p≤1，则该反常积分发散。

②常用反常积分二(q积分)

对反常积分∫ab1(x−a)qdx\int_{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^q}dx∫ab(x−a)q1dx，(a>0)

若q<1q<1q<1，则该反常积分收敛；

若q≥1q≥1q≥1，则该反常积分发散。

③常用反常积分三

对反常积分∫2+∞1xpln⁡qxdx\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x^p\ln^qx}dx∫2+∞xplnqx1dx，

若P>1P>1P>1，则对任意q该反常积分都收敛；

若P＜1P＜1P＜1，则对任意q该反常积分都发散；

若P=1P=1P=1，则q>1时该反常积分收敛，q≤1时该反常积分发散。

④常用反常积分四

∫−∞+∞e−x2dx=π\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\pi∫−∞+∞e−x2dx=π

对于一般的多数反常积分，如果可以化成p积分或q积分的形式，则化成即可再判断敛散性。

如果不能，则先尽可能地化简，然后选择合适的p积分或q积分，将其与之进行比较即可。

反常积分敛散性的比较判别法专题（及常用反常积分）相关推荐

反常积分敛散性判别的套路总结
在数学分析中,函数扮演着极其重要的角色,判断起主要作用的函数,能够快速求取函数极限,从而正确判断反常积分的敛散性. 目录前言一.反常积分的本质是什么? 二.判断反常积分敛散性的解题基础 1.非负函 ...
考研高数——反常积分敛散性的判别的两个重要结论
对于反常积分敛散性的判别,我们需要掌握两个重要结论,并能熟练地进行无穷小.无穷大比阶.1 注意到: ∫1xpdx=1(p−1)xp−1=1p−1⋅e(1−p)ln⁡x\int \frac{1}{x^p ...
高等数学笔记：反常积分敛散性判别法
繁星数学随想录·笔记卷摘录卷反常积分敛散性判别法 01 反常积分的比较判别法(保序性) (1) 无穷限广义积分的比较判别法(保序性) 若函数f(x)与g(x)在[a,+∞]上非负可积,a>0 ...
【高等数学】反常积分敛散性的判定工具——P积分的敛散性
反常积分的敛散性判定反常积分又叫广义积分.广义积分判别法只要研究被积函数自身的性态,即可知其敛散性.它不仅比传统的判别法更加精细,而且避免了传统判别法需要寻找参照函数的困难. 反常积分收敛判别法规律 ...
高数知识梳理——反常积分的敛散性
反常积分的敛散性反常积分定义:积分区间无限的定积分成为反常积分(广义积分). eg. ∫ 1 + ∞ 1 x 2 d x \int_1^{+\infty} {{1}\over{x^2}}dx ∫1 ...
【用积分判别法证明p级数的敛散性】
本菜鸡的第一篇博客,请多多关照~ 用积分判别法证明p级数的敛散性前言先给出结论证明过程总结前言以下是关于我对p级数的敛散性的证明的个人理解,可能有不严谨之处,欢迎各位大佬指正. 先给出结论 ...
【高数】级数性质说明、找同阶通项判敛散性、几何级数p级数记忆法、常用例子、审敛法
目录一.级数性质相关 1. 判敛散性的一个简易方法 2. 几何级数记忆法 3. p级数记忆法二.常用例子三.审敛法四.小结一.级数性质相关 1. 判敛散性的一个简易方法针对课本上的级数性质 ...
无穷级数求和7个公式_大家看，用反证法判别级数敛散性（送微积分同学）！...
反证法证明级数发散题目. 判断级数的收敛性. 解: 反设收敛.则收敛.所以收敛, 所以收敛, 它为正项级数,但是通过比较分子分母次数得到因为发散, 所以发散,矛盾.所以原级数发散. ...
正项级数的积分审敛法，p级数的敛散性
定理 Suppose f(x)f(x)f(x) is continuous, positive and decreasing on [1,∞]\left[ 1,\infty \right][1,∞]. ...

反常积分敛散性的比较判别法专题（及常用反常积分）

文章目录