连续的函数一定有原函数(原函数存在定理)
若函数f(x)在某区间上连续,则f(x)在该区间内必存在原函数,这是一个充分而不必要条件,也称为“原函数存在定理”。
函数族F(x)+C(C为任一个常数)中的任一个函数一定是f(x)的原函数,
故若函数f(x)有原函数,那么其原函数为无穷多个。
例如:x3是3x2的一个原函数,易知,x3+1和x3+2也都是3x2的原函数。因此,一个函数如果有一个原函数,就有许许多多原函数,原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。
例如:已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v=v(t),要求它的运动规律 ,就是求v=v(t)的原函数。原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题,当f(x)为连续函数时,其原函数一定存在。
扩展资料
定义域中含有第一类间断点和无穷间断点的函数都没有原函数,只有连续函数和存在非无穷型第二类间断点的函数存在原函数,同时关于是否存在原函数是针对区间来说的,例如函数f(x)=1/x,其在任意包含x=0的区间都没有原函数,但是在x>0或者x<0时,其存在原函数且等于Inx。
几何意义:设f(x)在[a,b]上连续,则由曲线y=f(x),x轴及直线x=a,x=x围成的曲边梯形的面积函数是f(x)的一个原函数.
物理意义:若t为时间,f(t)为作直线运动的物体的速度函数,则f(t)的原函数就是路程函数.
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