典型关联分析（CCA）算法原理

1、问题的提出

我们知道，两个随机变量x、y之间的线性关系可以通过对这两个变量的N组样本对进行线性回归求得。但是，如果要求两组随机变量x、y之间的线性关系，则可以用典型关联分析（Canonical correlation analysis）来求解。CCA是寻找两组变量对应的两个线性变换 wx,wy \textbf{w}_x,\textbf{w}_y(分别和x，y的维数相等)，使得通过线性变换后的两个组合变量（即 wTxx,wTyy \textbf{w}_x^T\textbf{x},\textbf{w}_y^T\textbf{y}）之间的相关系数最大。

2、算法实现

假设两组随机变量有N个样本，把这N个样本都进行线性变换，得到以下两组数据：

Sxwx=(wTxx1,...,wTxxN) S_{x}\textbf{w}_x = (\textbf{w}_x^T\textbf{x}_1,...,\textbf{w}_x^T\textbf{x}_N)
Sywy=(wTyy1,...,wTyyN) S_{y}\textbf{w}_y = (\textbf{w}_y^T\textbf{y}_1,...,\textbf{w}_y^T\textbf{y}_N)

而CCA算法要做的就是最大化这两组数据之间的相关性，可以表示为下式：

ρ=maxwx,wycorr(Sxwx,Sywy)=maxwx,wy⟨Sxwx,Sywy⟩||Sxwx||∣∣|Sywy∣∣| \rho = \operatorname*{max}\limits_{\textbf{w}_x,\textbf{w}_y} corr(S_{x}\textbf{w}_x,S_{y}\textbf{w}_y) = \operatorname*{max}\limits_{\textbf{w}_x,\textbf{w}_y}\frac{\langle S_{x}\textbf{w}_x,S_{y}\textbf{w}_y \rangle}{\left || S_{x}\textbf{w}_x \right || \left || S_{y}\textbf{w}_y \right ||}，（注意：已默认两组数据均值为零）

通过数学推导（详见《canonical correlation analysis： an overview with application to learning methods》），
可以得到如下两个公式：

wy=C−1yyCyxwxλ \textbf{w}_y = \frac{C_{yy}^{-1}C_{yx}\textbf{w}_x}{\lambda} , (2.1)

CxyC−1yyCyxwx=λ2Cxxwx C_{xy}C_{yy}^{-1}C_{yx}\textbf{w}_x = \lambda^2C_{xx}\textbf{w}_x ,(2.2)

因为协方差矩阵 Cxx，Cyy C_{xx}，C_{yy}是对称正定的，所以可以进行完整的Choleskey分解如下：

Cxx=Rxx⋅R′xx C_{xx} = R_{xx}\cdot R_{xx}'

令 ux=R′xx⋅wx \textbf{u}_x = R_{xx}'\cdot \textbf{w}_x，代入2.2式可得：

R−1xxCxyC−1yyCyxR−1xx′ux=λ2ux R_{xx}^{-1}C_{xy}C_{yy}^{-1}C_{yx}{R_{xx}^{-1}}'\textbf{u}_x = \lambda^2\textbf{u}_x

这就是一个特征值求解问题 Ax=λ2x A\textbf{x} = \lambda^2\textbf{x} 。求出的特征向量就是 wx \textbf{w}_x，代入2.1式可以求出 wy,而ρ=λ \textbf{w}_y,而\rho=\lambda。
得到以上结果后可算出 Sxwx，Sywy S_{x}\textbf{w}_x，S_{y}\textbf{w}_y 这两组数据的具体值，并可画图观察线性关系。