【数模】选址问题 7个居民点中建设银行（多目标，NP-Hard）

选址问题

现准备在7个居民点中设置一银行，路线与距离如下图，问设在哪个点，可使最大服务距离最小？若设两个点呢？

在matlab中把图给画出来

s = [1 2 2 3 3 3 4 5 6];
t = [2 3 6 4 6 7 7 6 7];
weights = [3 2 1.5 6 2.5 4 3 1.5 1.8];
G = graph(s,t,weights);
plot(G,'EdgeLabel',G.Edges.Weight,"EdgeLabelColor",'r')

算出每个点到其他点的最小加权距离

总共有7个节点，算出每个点到其他点最短加权路径之和，最终得到一个对称的矩阵，其中每个点表示i到j的距离。

% 总共有7个节点
% 算出每个点到其他点最短加权路径之和
% 最终得到一个对称的矩阵，其中每个点表示i到j的距离
D=zeros(7,7);
for i=1:7for j=1:7[ ~,D(i,j)] = shortestpath(G,i,j);end
end

计算每个点作为银行建设点的最大服务距离

% 看看哪个覆盖范围最大
[m,index]=min(max(D'))

最后结果是6号点，最大服务距离为4.8

第二问

第二问要求建两个银行，主要思想就是，把所有建银行的可能情况都列出来，然后计算，每个点到这两个银行距离的最小值作为该点到银行的距离，之后把这些距离的最大值作为该店建银行的最大服务距离，最后找到这些最大服务距离的最小值即可得到结果。

列出所有的选两个点的情况

% 第二问
% 列出所有的选两个点的情况
tp=zeros(21,11);
tt=1;
for i=1:7for j=i+1:7tp(tt,1)=i;tp(tt,2)=j;tt=tt+1;end
end

点1	点2
1	2
1	3
1	4
1	5
1	6
1	7
2	3
2	4
2	5
2	6
2	7
3	4
3	5
3	6
3	7
4	5
4	6
4	7
5	6
5	7
6	7

D2=zeros(7,1);
for i=1:length(tp)for j=1:7[ ~,temp1] = shortestpath(G,j,tp(i,1));[ ~,temp2] = shortestpath(G,j,tp(i,2));tp(i,j+2) = min([temp1 temp2]);end
end
tp(:,10) = sum(tp(:,3:9),2);
tp(:,11) = max(tp(:,3:9),[],2);
% [m,index]=min(tp(:,11))
% 因为会有多个最小的，故用find函数找
res=tp(find(tp(:,11)==min(tp(:,11))),1:2)

最终结果是在2、4或者2、7建银行。

变题

这个题目是让我们求设在哪个点，可使最大服务距离最小，其实，如果把问题改成设在哪个点，可使其他点离银行的总距离最小。

思路

思路其实很简单，就是在之前的基础上，把每个点到银行的距离加起来，然后找到建银行距离总和最小的点。

变题第一问

最后看看哪个点的路径之和最小

[m,index]=min(sum(D))

最后结果也是6号点，距离其他点的总距离是16.6

变题第二问

D2=zeros(7,1);
for i=1:length(tp)for j=1:7[ ~,temp1] = shortestpath(G,j,tp(i,1));[ ~,temp2] = shortestpath(G,j,tp(i,2));tp(i,j+2) = min([temp1 temp2]);end
end
tp(:,10) = sum(tp(:,3:9),2);
tp(:,11) = max(tp(:,3:9),[],2);
% [m,index]=min(tp(:,11))
% 因为会有多个最小的，故用find函数找
res=tp(find(tp(:,11)==min(tp(:,11))),1:2)
res2=tp(find(tp(:,10)==min(tp(:,10))),1:2)

最后结果是在4、6建银行会让总距离最小。

结语

由此可见，让最大服务距离最小的时候不一定总距离会最小。

下表是问题2的总结果

第一个点	第二个点	点1距银行的距离	点2距银行的距离	点3距银行的距离	点4距银行的距离	点5距银行的距离	点6距银行的距离	点7距银行的距离	距离之和	最大距离
1	2	0	0	2	6.3	3	1.5	3.3	16.1	6.3
1	3	0	2	0	6	4	2.5	4	18.5	6
1	4	0	3	5	0	6	4.5	3	21.5	6
1	5	0	3	4	6.3	0	1.5	3.3	18.1	6.3
1	6	0	1.5	2.5	4.8	1.5	0	1.8	12.1	4.8
1	7	0	3	4	3	3.3	1.8	0	15.1	4
2	3	3	0	0	6	3	1.5	3.3	16.8	6
2	4	3	0	2	0	3	1.5	3	12.5	3
2	5	3	0	2	6.3	0	1.5	3.3	16.1	6.3
2	6	3	0	2	4.8	1.5	0	1.8	13.1	4.8
2	7	3	0	2	3	3	1.5	0	12.5	3
3	4	5	2	0	0	4	2.5	3	16.5	5
3	5	5	2	0	6	0	1.5	3.3	17.8	6
3	6	4.5	1.5	0	4.8	1.5	0	1.8	14.1	4.8
3	7	5	2	0	3	3.3	1.8	0	15.1	5
4	5	6	3	4	0	0	1.5	3	17.5	6
4	6	4.5	1.5	2.5	0	1.5	0	1.8	11.8	4.5
4	7	6.3	3.3	4	0	3.3	1.8	0	18.7	6.3
5	6	4.5	1.5	2.5	4.8	0	0	1.8	15.1	4.8
5	7	6	3	4	3	0	1.5	0	17.5	6
6	7	4.5	1.5	2.5	3	1.5	0	0	13	4.5

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