三角形一点到三边距离最小_三角形内有没有一个点到三边距离之和最小
不论是不是内心
,
一个点到三边的距离都是垂线段的长度
,
相互之间不能直接比较
.
正确的结论是这样的
:
①若三角形不等腰
,
则平面上到三边距离和最小的点是最大内角的顶点
.
②若三角形等腰
,
而底边大于腰
,
则到三边距离和最小的点是顶角的顶点
.
③若三角形等腰
,
而底边小于腰
,
则底边上
(
内部和端点
)
任意一点到三边距离和相等
,
并为平面上点到三边距离和的最小值
.
④若三角形等边
,
则三角形内任意一点到三边距离和相等
,
并为平面上点到三边距离和的最小值
.
证明不难
,
关键是如下特殊情况
.
借用下面的图
, P
是
△
AMN
的一边
MN
所在直线上任意一点
.
PE, PF
分别为到另两边的垂线段
.
设
AM
≥
AN, NK MJ
分别是
AM, AN
边上的高
.
则有如下结论
:
1) MJ
≥
NK.
2)
当
P
不在线段
MN
上
,
有
PE+PF > NK.
3)
若
AM = AN,
且
P
在线段
MN
上
,
有
PE+PF = NK.
4)
若
AM > AN, P
在线段
MN
上且不与
N
重合
,
则
PE+PF > NK.
证明
:
1)
∵
AN·
MJ/2 = S
△
AMN = AM·
NK/2,
∴
AN·
MJ = AM·
NK.
又∵
AM
≥
AN,
∴
MJ
≥
NK.
2)
若
P
在
M
左侧
,
则
PE+PF
≥
PE > MJ
≥
NK.
若
P
在
N
的右侧
,
则
PE+PF
≥
PF > NK.
因此
PE+PF > NK
对直线
MN
上不在线段
MN
上的
P
点均成立
.
3)
∵
S
△
AMP = AM·
PF/2, S
△
ANP = AN·
PE/2,
∴
S
△
AMN = S
△
AMP+S
△
AMP = (AM·
PF+AN·
PE)/2.
又∵
S
△
AMN = AM·
NK/2,
∴
AM·
NK = AM·
PF+AN·
PE (*).
∵
AM = AN,
∴
NK = PF+PE.
4)
接上面
(*)
式
.
∵
AM > AN, PE > 0,
∴
AM·
NK = AM·
PF+AN·
PE
PF+AM·
PE = AM·
(PE+PF),
∴
NK
向左转
|
向右转
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