单源最短路径Dijkstra算法升级：出现多条最短路径，输出之？

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引言：单条路径的标配算法
进阶：记录多条路径的改进版Dijkstra算法:
- 1. 对`P[]`数组进行扩充
- 2. 求最短路径条数
- 3. 输出所有最短路径

引言：单条路径的标配算法

一个普通、标配、差强人意的Dijkstra算法包含以下过程（任意数据结构教材均有售）：


// Dijkstra:
//// 图采用存储结构：邻接矩阵
int G[MAX_NODES][MAX_NODES]; // G[i][j]，表示i到j有路径，其值为路径长度。没有路径则设为INF
int N; //结点个数int D[MAX_NODES]; //表示从源点v0开始，到各个结点的路径长度
int P[MAX_NODES]; //用来描述路径。P[j] = i，即表示：经过i才能到达j。
bool finale[MAX_NODES]; //finale[i] 为 true 则表示通往i结点的最短路径已经确定，加入了最短路径集合。// 算法主体
void DIJ(int N, int v0, int D[], int P[], bool finale[]) {int v, w; //循环指针for (v=0; v<N; ++v) { // 初始化过程D[v] = G[v0][v]; P[v] = v0; finale[v] = false;}finale[v0] = true; D[v0] = 0; P[v0] = -1; //对源点无需求最短路径for (int i=1; i<N; ++i) { //主循环，共循环N-1次int min = INF;for (w=0; w<N; ++w)if (finale[w] == false && D[w] < min){v = w; min = D[w];}finale[v] = true; //当前最近结点加入集合。for (w=0; w<N; ++w) {if (finale[w] == false && min + G[v][w] < D[w]) {// 更新最短路径D[w] = min + G[v][w];P[w] = v;}}}
}
// end

输出路径的算法：

// 这里要用到上面的P数组, 起点v0，终点v
// 因为P数组是倒着存放路径的，所以需要反向输出，即利用栈的特性。
void print_path(int v0, int v, int P[]) {STACK st;int c = v; st.push(v);while(c != v0) {c = P[c];st.push(c);}while(st不空) {printf("%d", st.top());st.pop();}
}

然而，很多时候我们面对的不仅仅只有“最短路径”。客户有时需要我们给出多条代价相近且最小的方案。比如下面这张图：

这里每一条start -> end的路径都是最短路径。下面就介绍如何应对这一情形。

进阶：记录多条路径的改进版Dijkstra算法:

我们基于之前所给出的算法，其中有一个P[]数组，其用来记录路径Path。
P[j] = i，当且仅当：弧(i, j)在j的最短路径上，即最短路径上j的前一个结点是i。

1. 对`P[]`数组进行扩充

现在，将P扩充为一个二维数组。P[j]存储的不再是一个数，而是一个新的数组，在这个数组里存储的每一个数，都是j的某一条最短路径的直接前驱i。
P数组现在的定义如下：

#define MAX_NODES ...
#define MAX_PATHS ...
int P[MAX_NODES][MAX_PATHS];
// int P[MAX_NODES]; //以前的P数组，只能存储一条最短路径

或者是动态数组：（强烈推荐！！）

#include <vector>
vector<int> P[MAX_NODES];

这时，每当通往j有一条新的最短路径时，我们都在P[j]这个一位数组里再添上一个新的成员。

这里强烈推荐动态数组的原因是：

P[]数组里每个一维数组的长度，都是不一样的，如果是普通数组，那么对P[j]添加成员时，需要先求出当前数组的长度，或者将数组的下标0位置空出，已存储当前的数组长度。

每个结点所在最短支路的条数，相差甚大：有的处于枢纽结点，有10+条最短路径，有的只是过渡结点，只有一条最短路径。如果采用静态数组统一分配空间，会造成普遍的浪费现象。

如果是动态数组，就不必考虑这些问题，可以直接使用push_back或者是append方法。

此时，算法中初始化数组、以及更新最短路径的那部分代码，应该修改如下：
P[v] = v0，修改为：P[v].clear(); P[v].push_back(v0);
P[v0] = -1，修改为：P[v].clear();
P[w] = v，修改为：P[w].clear(); P[w].push_back(v);
同时还要增加下列语句（最短路径相等）：
if (finale[w] == false && min + G[v][w] == D[w]) {
D[w] = min + G[v][w]; P[w].push_back(v); }
除了最短路径相等的情况，其余每次更新路径都必须清空一维数组clear()，原因在于每次更新最短路径后，之前的所有路径，就成为错误的路径了。
最后的算法如下：


// Dijkstra: 加强版
//// 图采用存储结构：邻接矩阵
int G[MAX_NODES][MAX_NODES]; // G[i][j]，表示i到j有路径，其值为路径长度。没有路径则设为INF
int N; //结点个数int D[MAX_NODES]; //表示从源点v0开始，到各个结点的路径长度
vector<int> P[MAX_NODES]; //用来描述路径。P[j] 包含了 i，即表示：//至少存在一条最短路径，使得经过i才能到达j。
bool finale[MAX_NODES]; //finale[i] 为 true 则表示通往i结点的最短路径已经确定，加入了最短路径集合。// 算法主体
void DIJ(int N, int v0, int D[], vector<int> P[], bool finale[]) {int v, w; //循环指针for (v=0; v<N; ++v) { // 初始化过程D[v] = G[v0][v]; P[v].clear(); P[v].push_back(v0); finale[v] = false;}finale[v0] = true; D[v0] = 0; P[v0].clear(); //对源点无需求最短路径for (int i=1; i<N; ++i) { //主循环，共循环N-1次int min = INF;for (w=0; w<N; ++w)if (finale[w] == false && D[w] < min){v = w; min = D[w];}finale[v] = true; //当前最近结点加入集合。for (w=0; w<N; ++w) {if (finale[w] == false && min + G[v][w] < D[w]) {// 更新最短路径D[w] = min + G[v][w];P[w].clear(); P[w].push_back(v);} elseif (finale[w] == false && min + G[v][w] == D[w]) {//增添新的最短路径D[w] = min + G[v][w];P[w].push_back(v);}}}
}
// end

2. 求最短路径条数

求最短路径的条数，就是从终点end往回返，数组P[end]的长度，就是最终通往end的最短路径条数，然后再依次遍历end的所有最短路径的直接前驱，以递归的方式，求各个中间结点的最短路径的支路的条数，直到回到起点v0：

// 求以v0为起点，o为终点，的最短路径的条数：get_paths_num
int get_paths_num(int v0, int o, vector<int> P[]) {if (o == v0) return 1;   // 递归终止的条件: 起点==终点 int count = 0;for (int i = 0; i < P[o].size(); ++i) //遍历终点的直接前驱，支路条数累加起来count += get_paths_num(v0, P[o][i], P);return count;
}

3. 输出所有最短路径

单条最短路径算法，利用栈结构来输出路径，这是因为P[]数组是从终点开始，存储最短路径上每一个结点的直接前驱。也可以不使用栈的结构，而是利用reverse将字符串或者容器进行倒序。
对于加强后的多条最短路径算法，P[]数组这个特性并没有发生变化，所以利用递归的思想，其输出算法大同小异。
我们建立一个字符串数组，每当一轮递归结束，都把生成的路径字符串在屏幕上打印、换行，并推入数组：

vector<int> P[MAX_NODES];
vector<string> V;
// 函数功能：打印并保存 v0->o 的所有最短路径
// cur字符串作递归辅助用，首次调用务必使cur为空串
void print_path(int v0, int o, string cur = "") {cur += o + '0';if (o == v0) { //退出递归的条件：起点==终点，输出路径，保存至V数组reverse(cur.begin(), cur.end());cout << cur << endl;V.push_back(cur);return;}for (int i = 0; i < P[o].size(); ++i)print_path(v0, P[o][i], cur);
}