三维图形的基本变换矩阵
三维图形几何变换是二维图形几何变换的扩展。在三维空间中，用规范化齐次坐标[x y z 1]表示三维点，变换原理是把齐次坐标点(x, y, z, 1)通过变换矩阵变换成新的齐次坐标点(x’ y’, z’, 1)，即：

[x y z 1] T3D = [x' y' z' 1]

因此，三维图形的基本变换矩阵用4×4阶矩阵表示，即：

1）左上角的3*3子块实现比例、旋转、对称、错切等基本变换；
2）左下角的1*3子块实现平移变换；
3）右上角的3*1子块实现透视变换；
4）右下角的1*1子块实现全比例变换。

平移变换：

立体图形上的任意一点(x, y, z)沿X轴、Y轴、Z轴方向分别平移k、m和n后，成为新图形上的一点(x’, y’, z’)，则有：
x’=x+k y’=y+m z’=z+n
即：

比例变换：

1、相对于坐标原点的比例变换，沿X、Y、Z轴方向的比例系数分别为a、e、j，则有：

当变换矩阵时，立体图形整体放大或缩小1/S倍。

2、相对于任意点(x0, y0, z0)的比例变换，比例系数为a、e、j：

旋转变换

旋转的正方向：右手拇指指向转轴正向，其余四指缠绕方向便是θ角正向。

绕空间任意一条直线的旋转：
设空间一条直线段AA'作为旋转轴，A点坐标是(xA, yA, zA)，A'点坐标是(x'A, y'A, z'A)，空间一点P(x, y, z)绕AA'轴旋转θ角到P'(x', y', z')，即：
[x' y' z' 1] = [x y z 1]*T

其中，T 为绕任意轴的旋转变换矩阵，它由若干个基本变换矩阵组合而成。

第1步：将点P与旋转轴AA'一起作平移变换，使旋转轴AA'过原点，A与原点重合，变换矩阵为：

第2步：令AA'轴首先绕X轴逆时针旋转α角，使其与XOZ平面共面，然后再绕Y轴顺时针旋转β角，使其与Z轴重合，变换矩阵为：

其中，α和β角可通过旋转轴AA'的两个端点坐标计算得到。

第3步：将点P绕Z轴（即AA’轴）旋转θ角，变换矩阵为：

第4步：作第2步的逆变换，即将AA'轴旋转回到原来的位置，变换矩阵为：

第5步：作第1步的逆变换，即将旋转轴AA'平移回到原来的位置，变换矩阵为：

因此，绕空间任意轴的旋转变换矩阵为：
T = T1*T2*T3*T4*T5

对称变换

1、关于X轴对称：x不变，y、z相反
2、关于Y轴对称：y不变，x、z相反
3、关于Z轴对称：z不变，x、y相反
4、关于坐标原点对称：x、y、z相反
5、关于XOY平面对称：x、y不变，z相反
6、关于XOZ平面对称：x、 z不变，y相反
7、关于YOZ平面对称：y、 z不变，x相反

错切变换

由错切变换结果看出，一个坐标的变化会受另外两个坐标的影响。

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