202112-1 序列查询

题目背景

西西艾弗岛的购物中心里店铺林立，商品琳琅满目。为了帮助游客根据自己的预算快速选择心仪的商品，IT 部门决定研发一套商品检索系统，支持对任意给定的预算 x，查询在该预算范围内（≤x）价格最高的商品。如果没有商品符合该预算要求，便向游客推荐可以免费领取的西西艾弗岛定制纪念品。

假设购物中心里有 n 件商品，价格从低到高依次为 A1,A2⋯An，则根据预算 x 检索商品的过程可以抽象为如下序列查询问题。

题目描述

A=[A0,A1,A2,⋯,An] 是一个由 n+1 个 [0,N) 范围内整数组成的序列，满足 0=A0<A1<A2<⋯<An<N。（这个定义中蕴含了 n 一定小于 N。）

基于序列 A，对于 [0,N) 范围内任意的整数 x，查询 f(x) 定义为：序列 A 中小于等于 x 的整数里最大的数的下标。具体来说有以下两种情况：

存在下标 0≤i<n 满足 Ai≤x<Ai+1

此时序列 A 中从 A0 到 Ai 均小于等于 x，其中最大的数为 Ai，其下标为 i，故 f(x)=i。

An≤x

此时序列 A 中所有的数都小于等于 x，其中最大的数为 An，故 f(x)=n。

令 sum(A) 表示 f(0) 到 f(N−1) 的总和，即：
sum(A)=∑i=0N−1f(i)=f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(N−1)

对于给定的序列 A，试计算 sum(A)。

输入格式

从标准输入读入数据。

输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 n 和 N。

输入的第二行包含 n 个用空格分隔的整数 A1,A2,⋯,An。

注意 A0 固定为 0，因此输入数据中不包括 A0。

输出格式

输出到标准输出。

仅输出一个整数，表示 sum(A) 的值。

样例1输入

3 10
2 5 8

样例1输出

样例1解释

A=[0,2,5,8]

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
f(i)	0	0	1	1	1	2	2	2	3	3

如上表所示，sum(A)=f(0)+f(1)+⋯+f(9)=15。

考虑到 f(0)=f(1)、f(2)=f(3)=f(4)、f(5)=f(6)=f(7) 以及 f(8)=f(9)，亦可通过如下算式计算 sum(A)：
sum(A)=f(0)×2+f(2)×3+f(5)×3+f(8)×2

样例2输入

9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9

样例2输出

子任务

50% 的测试数据满足 1≤n≤200 且 n<N≤1000；

全部的测试数据满足 1≤n≤200 且 n<N≤10^7。

提示

若存在区间 [i,j) 满足 f(i)=f(i+1)=⋯=f(j−1)，使用乘法运算 f(i)×(j−i) 代替将 f(i) 到 f(j−1) 逐个相加，或可大幅提高算法效率。

题目分析

根据提示的信息我们可以找到解答题目的规律，比如样例1中A数组为[0,2,5,8],对应的下标i为(0,1,2,3),所给定的N为10，那么必定有a[i+1]-a[i]个f(i)相等,f(i)的值就等于下标i,以此类推可以计算到N-a[n]个f(n-1)相等且值为n。以下附上具体代码供参考：

AC代码

#include<iostream>
using namespace std;
int n,N;
int a[202];
int main(){int sum=0,l;cin>>n>>N;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];}for(int i=1;i<=n;i++){l=a[i]-a[i-1];sum+=l*(i-1);}l=N-a[n];sum+=l*n;cout<<sum<<endl;return 0;
}