对称矩阵的特征向量两两正交的证明
对称阵有一个很优美的性质：它总能相似对角化，对称阵不同特征值对应的特征向量两两正交。
假设矩阵 A A A是一个对称矩阵， x i x_i xi和 x j x_j xj 是矩阵 A A A 的任意两个特征向量， λ i \lambda_i λi和 λ j \lambda_j λj 是与 x i x_i xi和 x j x_j xj 相对应的特征值，则有：
A x i = λ i x i ( 1 ) Ax_i = \lambda_ix_i \qquad (1) Axi=λixi(1)
A x j = λ j x j ( 2 ) Ax_j = \lambda_jx_j \qquad (2) Axj=λjxj(2)
将式（1）的两边左乘以 x j T x_j^T xjT ，可得：
x j T A x i = λ i x j T x i ( 3 ) x_j^TAx_i = \lambda_ix_j^Tx_i \qquad (3) xjTAxi=λixjTxi(3)
因为矩阵 A A A是一个对称矩阵，可以对式（3）的左边做如下变换：
x j T A x i = x j T A T x i = ( A x j ) T x i ( 4 ) x_j^T A x_i = x_j^T A^T x_i = (A x_j)^T x_i \qquad (4) xjTAxi=xjTATxi=(Axj)Txi(4)
将式（2）代入式（4），可得：
x j T A x i = x j T A T x i = ( A x j ) T x i = ( λ j x j ) T x i = λ j x j T x i ( 5 ) x_j^T A x_i = x_j^T A^T x_i = (A x_j)^T x_i = (\lambda_j x_j)^T x_i = \lambda_j x_j^Tx_i\qquad (5) xjTAxi=xjTATxi=(Axj)Txi=(λjxj)Txi=λjxjTxi(5)
结合式（3），可得：
$ \lambda_i x_j^Tx_i = \lambda_j x_j^Tx_i ， 即 ： ，即： ，即： (\lambda_i -
\lambda_j) x_j^Tx_i = 0\qquad (6) $
因为$\lambda_i \neq \lambda_j ， ， ，x_j^Tx_i 必 然 等 于 0 。 由 于 必然等于0。 由于 必然等于0。由于x_i 和 和 和x_j 是 矩 阵 是矩阵 是矩阵A$的任意两个特征向量，所以命题得证。
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