山东大学离散数学复习纲要

考纲目录：https://blog.csdn.net/dkbnull/article/details/87933295

数理逻辑：

基本的概念，包括Propositional Logic命题逻辑、Predicates 谓词逻辑

命题逻辑：命题的表达、命题的逻辑等价、命题的有效论证；

联结词：

公式等价：一类：P®Q º ØPÚQ

另一类：

命题公式的主析取范式和主合取范式

谓词逻辑：命题的谓词、量词表达形式，谓词与Quantifiers量词 "xP(x)，$x P(x)，谓词公式的解释I,谓词逻辑的演绎推证，证明定理的方法；

集合论

集合：集合的基本概念和运算（包括幂集power set P(S)、子集等概念，以及集合相等的证明方法）；

函数：函数的基本概念，三种特殊函数（单射（One-to-one function一对一），满射（Onto function映上），双射（One-to-one correspondence一一对应）），函数的运算（复合运算产生复合函数Composition functions、逆运算产生逆函数Inverse function等）。

三类特出函数的符合函数等。

第5章关系Relations 这一章我们主要讨论了关系的基本概念、运算、表示和关系的性质，以及两个比较重要的关系，即等价关系Equivalence relations和偏序关系partialordering。

关系的基本概念、运算，关系是集合笛卡尔乘积的子集，关系的运算除了包括集合间的基本运算以外，还有复合运算、逆运算和闭包运算。特别是闭包运算closures，三种闭包：自反闭包r(R)、对称闭包s(R)、传递闭包t(R)。要求会求关系的闭包。

关系的表示，除了由序对集合的表示形式以外，我们还讨论了关系矩阵和关系图两种表达形式，这两种形式可以借助于计算机进行辅助来讨论有关关系的一些问题。

关系的性质我们一共讨论了五种关系性质：自反Reflexive、反自反Irreflexive、对称Symmetric、反对称Antisymmetric、传递Transitive。

等价关系Equivalence relations 它是具有自反、对称和传递性的关系，它与集合的划分有着密切的联系，一个等价关系可以确定一个集合上的划分Equivalence classes & Partitions，该划分就是等价关系所确定的商集；同样给定一个集合上的划分，通过划分块间的笛卡尔乘积的并集可以得到一个等价关系，划分块就是该等价关系的等价类。

偏序关系partial ordering 它是具有自反、反对称和传递的关系，表达偏序关系的图的是哈斯图Hasse diagrams（COVA），利用哈斯图可以判定偏序集上的八种特殊元素，即极大、极小元素，最大、最小元素，上界和下界、上确界和下确界。

同时由偏序关系还可以构造元素的字典排序和拓扑排序。

图论

基本概念：无向图，有向图，简单图，多重图，伪图，完全图（Completegraphs），圈图（Cycles），轮图（Wheels），n立方体图（n-Cubes），正则图（regular graph），偶图（二分图bipartite graphs），对偶图（Dual graph），子图（subgraph），生成子图（spanning subgraph），补图（complement graph），强连通，单侧或单向连通图（unilaterally connected），弱连通图，连通分支（connected components），Euler graphs, Hamilton graphs, Euler circuit(欧拉回路和Hamilton circuit哈密顿回路)，Euler path(欧拉通路和Hamilton哈密顿通路)，带权图（weightedgraphs），平面（性）图（PlanarGraphs），图着色（vertices顶点），色数（用表示），树（Trees），parent,internal vertex,leaf vertex，根树（Rooted tree），生成树（spanning tree），最小生成树（Minimum spanning trees），

基本问题：图的表示（representing graphs）相邻表（adjacency lists），邻接矩阵（adjacency matrices），关联矩阵（incidence matrix），邻接矩阵与两顶点之间通路的计数，最短通路问题（Shortest-PathProblems），图的同构（Isomorphismof graph），

基本定理：握手定理，无向图有偶数个奇度顶点，，

欧拉图：有两个顶点的连通多重图具有欧拉回路当且仅当它的每个顶点都具有偶度数。

哈密顿图：对的任意非空子集均有，狄拉克定理：如果图是一个具有个顶点的简单图，并且图中每个顶点的度数至少为，那么图是哈密顿图。，奥勒定理：如果图是一个具有个顶点的简单图，并且图中每一对不邻接的顶点和满足，那么图具有哈密顿回路。

欧拉公式（Euler’s Formula）：假设图是具有条边，个顶点的连通、平面化的、简单连通图。是图的面数，则

推论1：假设图是具有个顶点,条边的连通平面化的简单图，其中，则

推论2：如果图是一个连通、平面化的简单图，那么图一定存在一个度数不超过5的顶点。

推论3：若连通平面化的简单图具有个顶点,条边，其中并且没有长度为3的回路，则。

库拉托夫斯基定理：一个图是非平面性的，当且仅当它包含一个同胚于和的子图。

定理及推论：任何树都满足：e=n-1，树有关的定理。

在满m叉树中结点n=m*i+1(e=m*i),e(m*i)=l+i-1等等

要求的算法：Dijkstra算法，Prim算法，Kruskal算法。

本阶段的考试要求

（1）期末考试采用闭卷笔试+平时作业、练习和出勤，其中闭卷笔试成绩占90%，平时作业、练习和出勤占10%

（2）阅卷全部采用密封、流水阅卷。

（3）考题类型：选择题、简答题、基本运算、证明题，形式与我们平时所做的练习、作业以及讲解的例题相同。

（4）题目的比例，根据前面的内容小结可以看出，我们一共讲了三大部分：数理逻辑（30%），集合论及关系（40%），图论（30%）。题目覆盖了我们所讲的80%左右的内容。英语出题是书上的内容，涉及集合和图论两部分。

（5）准备希望大家从最基本的概念、方法和技术入手，不要去做难度较大习题，只要掌握了这些基本的东西，再稍微仔细一点，考个8，9分是没有问题的。

（6）不要作弊，不作弊可以是60、70、80分，但只要作弊就是0分。

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