2021SC@SDUSC

文章标题

BIGNUM的结构
大整数的加减法（绝对值加减）
- 绝对值加减
- 带符号加减
大整数的乘法
- 经典乘法
- 递归和comba乘法
小结

无论是SM2、SM9等国密算法还是以RSA为代表的国际标准算法或者任何其他密码算法，对于大整数都有一定的要求，例如RSA中公钥的生成，需要用到大素数的乘法模幂等运算。而像1024位这种大整数的运算，肯定不能用普通的整数的加减乘除运算方法，一个是int类型的变量不能容纳这么长的数，另一个是考虑到计算机的计算效率问题。既能实现大整数“big number”加减乘除乘方模幂等运算，还需要保证效率，是对大整数运算程序实现的要求。因为GMSSL是在OPENSSL之上进行的扩充，本篇分析了OPENSSL中bn文件夹中针对大整数的运算方法。

BIGNUM的结构

首先认识一下BIGNUM的结构，源代码来自\openssl-master\crypto\bn\bn_local.h

#define BN_ULONG     unsigned long
struct bignum_st {BN_ULONG *d;                /* Pointer to an array of 'BN_BITS2' bit* chunks. */int top;                    /* Index of last used d +1. *//* The next are internal book keeping for bn_expand. */int dmax;                   /* Size of the d array. */int neg;                    /* one if the number is negative */int flags;
};
typedef struct bignum_st BIGNUM;

其中
BN_ULONG 32比特无符号数，简称为“字”；
d 指针，指向表示大整数的数组；
dmax 数组的最大长度；
top 大整数的最高字，0≤top≤dmax－1；
neg 标记了大整数的符号，neg为1表示负数，为0则表示正数；
flags 大整数的属性，这一点后面提到时再详细说明。

举个简单的例子进行说明。比如定义一个最长可以表示4个字的大整数，则dmax＝4；但是这个数可能只有低2个字有效，高2个字都为0，即d[3]=d[2]=0，d[1]≠0，则此时top＝1。
原文链接：https://blog.csdn.net/samsho2/article/details/85772221

大整数的加减法（绝对值加减）

openssl-master\crypto\bn\bn_add.c

绝对值加减

int BN_uadd(BIGNUM *r, const BIGNUM *a, const BIGNUM *b)//绝对值加
{int max, min, dif;const BN_ULONG *ap, *bp;BN_ULONG *rp, carry, t1, t2;bn_check_top(a);bn_check_top(b);if (a->top < b->top) {const BIGNUM *tmp;tmp = a;a = b;b = tmp;}max = a->top;min = b->top;dif = max - min;if (bn_wexpand(r, max + 1) == NULL)return 0;r->top = max;ap = a->d;bp = b->d;rp = r->d;carry = bn_add_words(rp, ap, bp, min);rp += min;ap += min;while (dif) {dif--;t1 = *(ap++);t2 = (t1 + carry) & BN_MASK2;*(rp++) = t2;carry &= (t2 == 0);}*rp = carry;r->top += carry;r->neg = 0;bn_check_top(r);
return 1;
}

int BN_usub(BIGNUM *r, const BIGNUM *a, const BIGNUM *b)//绝对值减
{int max, min, dif;BN_ULONG t1, t2, borrow, *rp;const BN_ULONG *ap, *bp;bn_check_top(a);bn_check_top(b);max = a->top;min = b->top;dif = max - min;if (dif < 0) {              /* hmm... should not be happening */ERR_raise(ERR_LIB_BN, BN_R_ARG2_LT_ARG3);return 0;}if (bn_wexpand(r, max) == NULL)return 0;ap = a->d;bp = b->d;rp = r->d;borrow = bn_sub_words(rp, ap, bp, min);ap += min;rp += min;while (dif) {dif--;t1 = *(ap++);t2 = (t1 - borrow) & BN_MASK2;*(rp++) = t2;borrow &= (t1 == 0);}while (max && *--rp == 0)max--;r->top = max;r->neg = 0;bn_pollute(r);return 1;
}

其中BN_ULONG bn_add_words(BN_ULONG *r, const BN_ULONG *a, const BN_ULONG *b, int n)与BN_ULONG bn_sub_words(BN_ULONG *r, const BN_ULONG *a, const BN_ULONG *b, int n)函数实现了低位的齐字加减法，并返回进位值赋给carry\borrow。算法思想主要利用了整数的加法进位时只可能进一位或者不进位，两大整数相加减时，位数少的与位数多的相同位数进行齐字加减，高位与carry\borrow相加减后放到高位，完成绝对值加减法。

带符号加减

int BN_add(BIGNUM *r, const BIGNUM *a, const BIGNUM *b)//大整数加
{int ret, r_neg, cmp_res;bn_check_top(a);bn_check_top(b);if (a->neg == b->neg) {r_neg = a->neg;ret = BN_uadd(r, a, b);} else {cmp_res = BN_ucmp(a, b);if (cmp_res > 0) {r_neg = a->neg;ret = BN_usub(r, a, b);} else if (cmp_res < 0) {r_neg = b->neg;ret = BN_usub(r, b, a);} else {r_neg = 0;BN_zero(r);ret = 1;}}r->neg = r_neg;bn_check_top(r);return ret;
}

int BN_sub(BIGNUM *r, const BIGNUM *a, const BIGNUM *b）//大整数减
{int ret, r_neg, cmp_res;bn_check_top(a);bn_check_top(b);if (a->neg != b->neg) {r_neg = a->neg;ret = BN_uadd(r, a, b);} else {cmp_res = BN_ucmp(a, b);if (cmp_res > 0) {r_neg = a->neg;ret = BN_usub(r, a, b);} else if (cmp_res < 0) {r_neg = !b->neg;ret = BN_usub(r, b, a);} else {r_neg = 0;BN_zero(r);ret = 1;}}r->neg = r_neg;bn_check_top(r);return ret;
}

有了绝对值相加减后，带符号的大整数进行加减运算就变得比较简单了。
先进行判定a、b是否同号，若同号，结果r的符号赋上a的符号，然后进行绝对值加减；否则，进行绝对值比较，r的符号赋上绝对值大的数的符号，然后进行绝对值相减。

大整数的乘法

以下源代码来自openssl-master\crypto\bn\bn_mul.c

经典乘法

Openssl首先实现了最基本的经典乘法方式，也就是类似小学中学到的“竖式计算”的方法，在void bn_mul_normal(BN_ULONG *r, BN_ULONG *a, int na, BN_ULONG *b, int nb)中实现了该方法。

void bn_mul_normal(BN_ULONG *r, BN_ULONG *a, int na, BN_ULONG *b, int nb)
{BN_ULONG *rr;if (na < nb) {int itmp;BN_ULONG *ltmp;itmp = na;na = nb;nb = itmp;ltmp = a;a = b;b = ltmp;}rr = &(r[na]);if (nb <= 0) {(void)bn_mul_words(r, a, na, 0);return;} elserr[0] = bn_mul_words(r, a, na, b[0]);for (;;) {if (--nb <= 0)return;rr[1] = bn_mul_add_words(&(r[1]), a, na, b[1]);if (--nb <= 0)return;rr[2] = bn_mul_add_words(&(r[2]), a, na, b[2]);if (--nb <= 0)return;rr[3] = bn_mul_add_words(&(r[3]), a, na, b[3]);if (--nb <= 0)return;rr[4] = bn_mul_add_words(&(r[4]), a, na, b[4]);rr += 4;r += 4;b += 4;}
}

递归和comba乘法

Openssl使用的环境一般是对信息的加解密，故对大整数的使用一定是不能用int、long等类型进行直接表示的，也就是说普通的数乘方法无法直接在实际场景中使用。上述的bn_mul_normal函数只起到最顶层的作用，实际对大整数的乘法运算使用到了递归乘法和comba乘法。
当然，openssl也实现了大整数的递归乘法和comba乘法。对于大整数来说，递归乘法的时间复杂度要比普通数乘要小。同时，对大整数乘法问题进行分而治之，逐步变成可以解决的数乘问题。
void bn_mul_recursive
void bn_mul_part_recursive
void bn_mul_low_recursive
三个函数实现了对大整数的递归乘法。
void bn_mul_comba8
void bn_mul_comba4
函数实现了对大整数的comba乘法，有关comba算法的具体内容，不在此详细介绍。

通过ctx，使程序自己判断使用递归乘法还是comba乘法：

int bn_mul_fixed_top(BIGNUM *r, const BIGNUM *a, const BIGNUM *b, BN_CTX *ctx)
{int ret = 0;int top, al, bl;BIGNUM *rr;
#if defined(BN_MUL_COMBA) || defined(BN_RECURSION)int i;
#endif
#ifdef BN_RECURSIONBIGNUM *t = NULL;int j = 0, k;
#endifbn_check_top(a);bn_check_top(b);bn_check_top(r);al = a->top;bl = b->top;if ((al == 0) || (bl == 0)) {BN_zero(r);return 1;}top = al + bl;BN_CTX_start(ctx);if ((r == a) || (r == b)) {if ((rr = BN_CTX_get(ctx)) == NULL)goto err;} elserr = r;#if defined(BN_MUL_COMBA) || defined(BN_RECURSION)i = al - bl;
#endif
#ifdef BN_MUL_COMBAif (i == 0) {# if 0if (al == 4) {if (bn_wexpand(rr, 8) == NULL)goto err;rr->top = 8;bn_mul_comba4(rr->d, a->d, b->d);goto end;}
# endifif (al == 8) {if (bn_wexpand(rr, 16) == NULL)goto err;rr->top = 16;bn_mul_comba8(rr->d, a->d, b->d);goto end;}}
#endif                          /* BN_MUL_COMBA */
#ifdef BN_RECURSIONif ((al >= BN_MULL_SIZE_NORMAL) && (bl >= BN_MULL_SIZE_NORMAL)) {if (i >= -1 && i <= 1) {/** Find out the power of two lower or equal to the longest of the* two numbers*/if (i >= 0) {j = BN_num_bits_word((BN_ULONG)al);}if (i == -1) {j = BN_num_bits_word((BN_ULONG)bl);}j = 1 << (j - 1);assert(j <= al || j <= bl);k = j + j;t = BN_CTX_get(ctx);if (t == NULL)goto err;if (al > j || bl > j) {if (bn_wexpand(t, k * 4) == NULL)goto err;if (bn_wexpand(rr, k * 4) == NULL)goto err;bn_mul_part_recursive(rr->d, a->d, b->d,j, al - j, bl - j, t->d);} else {            /* al <= j || bl <= j */if (bn_wexpand(t, k * 2) == NULL)goto err;if (bn_wexpand(rr, k * 2) == NULL)goto err;bn_mul_recursive(rr->d, a->d, b->d, j, al - j, bl - j, t->d);}rr->top = top;goto end;}}
#endif                          /* BN_RECURSION */if (bn_wexpand(rr, top) == NULL)goto err;rr->top = top;bn_mul_normal(rr->d, a->d, al, b->d, bl);#if defined(BN_MUL_COMBA) || defined(BN_RECURSION)end:
#endifrr->neg = a->neg ^ b->neg;rr->flags |= BN_FLG_FIXED_TOP;if (r != rr && BN_copy(r, rr) == NULL)goto err;ret = 1;err:bn_check_top(r);BN_CTX_end(ctx);return ret;
}

最后是大整数乘法中最上层的函数，对外只留下了一个乘法的接口，对外只需要输入两个大整数和上下文环境，就返回r=a*b。

int BN_mul(BIGNUM *r, const BIGNUM *a, const BIGNUM *b, BN_CTX *ctx)
{int ret = bn_mul_fixed_top(r, a, b, ctx);bn_correct_top(r);bn_check_top(r);return ret;
}

小结

本篇文章主要对大整数的加减法和乘法运算进行了分析。和大整数相关的运算函数一直是底层代码中较为重要的一部分，下面将会对大整数的其他运算的实现进行代码方向的分析与学习。
对于大整数的运算操作，属于openssl甚至是密码学编程较为底层的内容。现阶段使用的密码，大部分都依赖于大整数的产生和运算。理解底层的运算内容可以更好地认识上层的函数实现，同时也进一步了解了底层的算法。

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