Python|行列式解‘黑白皇后’

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问题描述

线性是人类少数研究得十分透彻的数学基础架构，上升到非线性的问题，我们并没有足够多的通用性质定理帮助解决问题。因此在面对一些“曲性”问题，我们常常“以直代曲”，将其划分成线性问题。而编程题中更是不乏此类，‘黑白皇后’便属其中：

1 例题

1.1 问题描述

给定一个n*n的棋盘，棋盘中有一些位置不能放皇后。现在要向棋盘中放入n个黑皇后和n个白皇后，使任意的两个黑皇后都不在同一行、同一列或同一条对角线上，任意的两个白皇后都不在同一行、同一列或同一条对角线上。问总共有多少种放法？n小于等于8。

1.2 输入格式

输入的第一行为一个整数n，表示棋盘的大小。
接下来n行，每行n个0或1的整数，如果一个整数为1，表示对应的位置可以放皇后，如果一个整数为0，表示对应的位置不可以放皇后。

1.3 输出格式

输出一个整数，表示总共有多少种放法。

解决方案

初见此题，第一想法是一行行设置判断，最终符合再输出。由于本人技术不行，未能成功。但在课程“线性代数”关于行列式的讲解中，突然发现展开行列式似乎能解决本题。

（1）先找一种皇后有多少放法：

先让我们回顾上题几个条件：1.不同列2.不同行3.不在斜线4.位置为‘0’不能放。而行列式的展开有个特点（不同行与不同列），而第三个条件：不在同一斜线，这个要用到斜率的知识——斜率的绝对值不能为1即可。最后一个条件：先找出‘0’的坐标（x，y），把含有此坐标的行列展开式删去即可。

（2）最后再找两种皇后的放法：

条件：两种皇后不能重合——即不含相同坐标。假设一种皇后有8种放法，将8种放法按2种为一组划分，且不含相同坐标的组合就能成功。

代码示例：

1 输入部分

import itertools

n=int(input())

b=[]

for i in range(n):

B=list(map(int,input().split(' ')))

b.append(B)

2 找缺失的坐标

c=[]

for i in range(n)

for ii in range(n):

if b[i][ii]==0:

c.append([i+1,ii+1])

3 列表展开式（此部分运行时间长）

a=list(range(1,n+1))

a=list(itertools.permutations(a)

for i in range(len(a)):

a[i]=list(a[i])

4 寻找能放下的列表展开式

s=[]

f=[]

for i in a:#寻找能放下的排列方式

i=list(i)

for ii in range(len(i)):

for iii in range(len(i)):

if ii!=iii:

g=(i[ii]-i[iii])/(ii+1-(iii+1))#斜率满足正负1就去掉

if g==1 or g==-1:

f.append(i)

break

for i in f:#去重

if i not in s:

s.append(i)

for i in s:

a.remove(i)

s=a

5 查找含有不能放棋的坐标

d=[]

for i in c:

for ii in s:

if ii[i[0]-1]==i[1]:

d.append(ii)

6 去掉不能放棋的展开式

for i in d:

if i in s:

s.remove(i)

else:

pass

7 寻找黑白皇后同时放下次数

m=0

for i in range(len(s)):#寻找两个不占相同位置的

k=s[i+1:]

if k!=[]:

v=0

for ii in range(len(k)):

for iii in range(n):

if s[i][iii]==k[ii][iii]:

v+=1

break

v=(len(s)-i-1)-v#与s[i]满足没占相同位置的列表数......即使含有s[i]的组合数

m+=v#最终累加

else:

print(m*2)#单组黑白皇后可以互换位置

break

结语

受线性代数课程启发，本题从行列式的角度出发得以解决，因此解题的思维并不难。‘天下难事必作于易，天下大事必作于细。’生活中小细节往往也有大作用，重视细节更是编写程序的严密逻辑的体现。而联系具有普遍性，往往重视事物之间的联系能为我们解决很多问题。也正是因为看到了行列式与上题的联系，这才得以成功解出。

END

主编 | 王楠岚

责编 | 梁林

where2go 团队

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