程序员的数学（四）—— 数学归纳法，如何征服无穷数列

2024-05-12 23:08:24

一、高斯求和

1+2+3+...+100的值是多少？

1、高斯的解答

1+2+3+...+100的计算结果和100+99+98+...+1的计算结果是一样的，那么就可以将这两串数字进行纵向相加，如下：

	1+	2+	3+	...	+100
+	100+	99+	98+	...	+1
	101+	101+	101+	...	+101
有100个101

101*100=10100/2=5050

2、归纳

高斯使用了以下等式

如果使用变量n，将“1到100”归纳为“1到n”，这样上面的等式变为如下形式

那么这个等式对于0以上的任意整数n都成立吗？如果成立该如何证明呢？这时就需要用到数学归纳法了。

二、数学归纳法

1、0以上整数的断言

例1：

▶ 断言A(n)：n×2为偶数

如果n为0，A(0)的结果是0，为偶数；

如果n为1，A(1)的结果是2，为偶数；

如果n为2，A(2)的结果是4，为偶数；

因为0以上的任意数乘以2结果都为偶数，所以对0以上的所有整数，断言A(n)为真。

例2：

▶ 断言B(n)：n×3为奇数

如果n为0，B(0)的结果是0，为偶数；

如果n为1，B(1)的结果是3，为奇数；

如果n为2，B(2)的结果是6，为偶数；

n=2是推翻“断言B(n)对于0以上的所有整数n都成立”的反例。

所以断言B(n)不为真，为假。

2、高斯断言

▶ 断言G(n)：0到n的整数之和为

3、什么是数学归纳法

数学归纳法是证明有关整数的断言对于0以上的所有整数是否成立时所用的方法。

假设现在要用数学归纳法来证明“断言P(n)对于0以上的所有整数n都成立”，则证明步骤如下：

● 步骤1

证明“P(0)成立”；

● 步骤2

证明n不论为0以上的哪个整数，“若P(n)成立，则P(n+1)也成立”。

在上面的证明步骤中，我们将步骤1称为基底，步骤2称为归纳。如果步骤1和步骤2都能得到证明，就证明了“断言P(n)对于0以上的所有整数n都成立”。

4、用数学归纳法证明高斯断言

● 步骤1：证明基底成立

证明G(0)成立。

G(0)就是“0到0的整数之和与0*(0+1)/2”相等；

可以直接通过计算证明，0到0的整数之和为0，0*(0+1)/2的结果也是0；

步骤1证明完毕。

● 步骤2：归纳的证明

证明n为0以上的任一整数时，“若G(n)成立，则G(n+1)也成立”。

先假设G(n)成立，这时，以下等式成立：

假设成立的等式G(n)

要证明的等式G(n+1)

现进行如下计算：

G(n+1)左边和右边的计算结果相同

由此，G(n)到G(n+1)的推导成功，步骤2得到了证明。

至此，通过数学归纳法的步骤1、步骤2都证明了G(n)，也就是说通过数学归纳法证明了断言G(n)对于0以上的任意整数n都成立。

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