期权Greek之theta（Θ）

前言

前一篇文章对期权希腊值的delta进行了介绍，解析来将对期权希腊值中的theta进行介绍。

一、theta（Θ）

Theta是期权价格对时间的偏导数，可以理解为期权价格随时间变化的速率，在其他条件不变情况下，期权价格对时间（T-t）的偏导数，计算公式为

对于看涨期权而言，Θcall的计算公式为：

对于看跌期权而言，Θput计算公式为：

其中：

从公式中可以看出，看跌期权的Θ比相应的看涨期权的Θ高出rKe^(-r（T-t））。

Theta(Θ) 用于描述 portfolio 价值随时间的变化率，Θ有时称为组合的时间损耗，即time decay。

二、Θ与标的资产价格的关系

1.Θcall与St的关系

首先，我们将本章需要的函数先进行定义（同上一章类似）

# theta
import numpy as np
import scipy.stats as st
from matplotlib import cm
import math
import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import mpl_toolkits.mplot3d.axes3d as p3
from scipy.integrate import quad# 定义标准正态分布的概率密度函数
def dN(x):'''标准正态分布的概率密度函数公式'''return math.exp(-0.5*x**2)/math.sqrt(2*math.pi)
def N(d):'''计算概率密度函数'''return quad(lambda x:dN(x),-20,d,limit=50)[0]
def d1f(St, K, t, T, r, sigma):'''BS模型中的d1'''d1=(math.log(St/K)+(r+0.5*sigma**2)*(T-t))/(sigma*math.sqrt(T-t))return d1

# 定义期权的theta
def call_theta(St, K, t, T, r, sigma):'''欧式看涨期权的theta'''d1 = d1f(St, K, t, T, r, sigma)d2 = d1 - sigma * math.sqrt(T - t)call_theta = -(St * dN(d1) * sigma / (2 * math.sqrt(T - t)) +r * K * math.exp(-r * (T - t)) * N(d2))return call_theta
def put_theta(St, K, t, T, r, sigma):'''欧式看跌期权的theta'''d1 = d1f(St, K, t, T, r, sigma)d2 = d1 - sigma * math.sqrt(T - t)put_theta = -St * dN(d1) * sigma / (2 * math.sqrt(T - t))+r * K * math.exp(-r * (T - t)) * N(-d2)return put_theta

上述代码是对欧式看涨期权和看跌期权的theta进行的定义
接下来对欧式看涨期权theta与标的资产价格之间的关系进行讨论

t=0
T=1
r=0.015
sigma=0.2
K1=2.6
K2=2.7
K3=2.8
K4=2.9
price=np.arange(1.4,4,0.01)theta=[call_theta(St, K1, t, T, r, sigma) for St in price]
theta_1=[call_theta(St, K2, t, T, r, sigma) for St in price]
theta_2=[call_theta(St, K3, t, T, r, sigma) for St in price]
theta_3=[call_theta(St, K4, t, T, r, sigma) for St in price]
plt.figure(figsize=(12, 8))# 看涨期权
plt.plot(price, theta,  label="K=2.6")
plt.plot(price, theta_1, label="K=2.7")
plt.plot(price, theta_2, label="K=2.8")
plt.plot(price, theta_3, label="k=2.9")
plt.xlabel('stock value')
plt.ylabel("call_theta value")
plt.title('call_theta value of different strike option')
plt.grid()
plt.legend()

结果如图所示。从图中可以看出，对于 call， Θ 总是小于 0 的。即随着到期日临近，期权越来越不值钱。

此外，当看涨期权的标的资产价格很低时，期权的Θ接近于0，对应于一个平价看涨期权，其Θ很大且是负值，当标的资产的价格很高时，Θ接近于

并且，随着行权价格的提高，平价期权的Θ越来越小。

2.Θput与St的关系

# 看跌期权
t=0
T=1
r=0.015
sigma=0.2
K1=2.6
K2=2.7
K3=2.8
K4=2.9
price = np.arange(0.2, 5.8, 0.001)
put_theta_0=[put_theta(St, K1, t, T, r, sigma) for St in price]
put_theta_1=[put_theta(St, K2, t, T, r, sigma) for St in price]
put_theta_2=[put_theta(St, K3, t, T, r, sigma) for St in price]
put_theta_3=[put_theta(St, K4, t, T, r, sigma) for St in price]plt.figure(figsize=(12, 8))
plt.plot(price, put_theta_0,label="K=2.6")
plt.plot(price, put_theta_1,label="K=2.7")
plt.plot(price, put_theta_2,label="K=2.8")
plt.plot(price, put_theta_3,label="K=2.9")plt.xlabel('stock value')
plt.ylabel("put_theta value")
plt.title('put_theta value of different strike option')
plt.grid()
plt.legend()plt.axhline(0,color='r',linestyle="--",alpha=0.8)  # 添加y轴参考线

通过下图可知，对于看跌期权，当期权处于深度价内时，即S<<K,期权的Θ可能是正值。

与实值、虚值期权相比，平价期权Theta 负值最大。

三、Θ与到期天数之间的关系

1.Θcall与T的关系

# 看涨期权
St=2.7
T = np.arange(0.01, 1, 0.001)
call_theta_0=[call_theta(St, K1, t, T, r, sigma) for T in T]
call_theta_1=[call_theta(St, K2, t, T, r, sigma) for T in T]
call_theta_2=[call_theta(St, K3, t, T, r, sigma) for T in T]# 画图
plt.figure(figsize=(12, 8))
plt.grid()
plt.xlabel('T')
plt.ylabel("call_theta value")
plt.title('call_theta value of different T')
plt.grid()
plt.legend(loc=1)
# 看涨期权
plt.plot(T, call_theta_0,  label="ITM/K=2.6")
plt.plot(T, call_theta_1, label="ATM/K=2.7")
plt.plot(T, call_theta_2, label="OTM/K=2.8")
plt.grid()
plt.legend()

从图中可以看出，剩余期限越短, (time decay) 速度越快, Θ\ThetaΘ 负得越多，与实值、虚值期权相比，平价期权Theta 负值最大。越快到期平值的敏感性越高

2.Θput与T的关系

# #
K1=2.6
K2=2.5
K3=2.4
St=2.5
T = np.arange(0.01, 1, 0.001)
pput_theta=[put_theta(St, K1, t, T, r, sigma) for T in T]
pput_theta_1=[put_theta(St, K2, t, T, r, sigma) for T in T]
pput_theta_2=[put_theta(St, K3, t, T, r, sigma) for T in T]# # 看跌期权
plt.figure(figsize=(12, 8))plt.xlabel('T')
plt.ylabel("put_theta value")
plt.title('put_theta value of different T')plt.plot(T, pput_theta,label='OTM/K=2.6')
plt.plot(T, pput_theta_1,label='ATM/K=2.5')
plt.plot(T, pput_theta_2,label='ITM/K=2.4')
plt.grid()
plt.legend()

对看跌期权而言，其theta与T的关系和看涨期权基本一致。

四、Θ与St、T之间的关系

接下来进行建模。将theta与标的资产价格、到期天数之间的关系进行描述。

1.Θcall与St、T的关系

def plot_greeks(function, greek):# 参数St =2.5  # 50ETF valuet = 0.0  # valuation dater = 0.015  # risk-less short ratesigma = 0.2  # volatility# 计算期权的greektlist = np.linspace(0.01, 1, 25)klist = np.linspace(2.2, 2.9, 25)V = np.zeros((len(tlist), len(klist)), dtype=np.float)for j in range(len(klist)):for i in range(len(tlist)):V[i, j] = function(St, klist[j], t, tlist[i], r, sigma)# 3D Plottingx, y = np.meshgrid(klist, tlist)fig = plt.figure(figsize=(9, 5))plot = p3.Axes3D(fig)plot.plot_surface(x, y, V,cmap='rainbow')plot.set_xlabel('strike $K$')plot.set_ylabel('maturity $T$')plot.set_zlabel('%s(K, T)' % greek)

2.Θput与St、T的关系

plot_greeks(put_theta, 'theta')

从图中可以看出，theta在短期平价期权的附近最小，随着时间的推移，平值期权的theta（Θ）会逐渐增大。

总结

Theta 值大小反映了期权购买者随时间推移所损失的价值，因而Theta 值仍是一个重要的敏感性指标。

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