今日主要总结一下，1373. 二叉搜索子树的最大键值和

题目：1373. 二叉搜索子树的最大键值和

Leetcode题目地址

题目描述：
给你一棵以 root 为根的二叉树，请你返回任意二叉搜索子树的最大键值和。

二叉搜索树的定义如下：

任意节点的左子树中的键值都小于此节点的键值。
任意节点的右子树中的键值都大于此节点的键值。
任意节点的左子树和右子树都是二叉搜索树。

示例 1：

输入：root = [1,4,3,2,4,2,5,null,null,null,null,null,null,4,6]
输出：20
解释：键值为 3 的子树是和最大的二叉搜索树。
示例 2：

输入：root = [4,3,null,1,2]
输出：2
解释：键值为 2 的单节点子树是和最大的二叉搜索树。
示例 3：

输入：root = [-4,-2,-5]
输出：0
解释：所有节点键值都为负数，和最大的二叉搜索树为空。
示例 4：

输入：root = [2,1,3]
输出：6
示例 5：

输入：root = [5,4,8,3,null,6,3]
输出：7

提示：

每棵树有 1 到 40000 个节点。
每个节点的键值在 [-4 * 10^4 , 4 * 10^4] 之间。

本题重难点

二叉树相关题目最核心的思路是明确当前节点需要做的事情是什么。

现在我们想计算子树中 BST 的最大和，站在当前节点的视角，需要做什么呢？

1、首先我想知道以我为根的这棵树是不是 BST，所以我肯定得知道左右子树是不是合法的 BST。因为如果这俩儿子有一个不是 BST，以我为根的这棵树肯定不会是 BST 的，对吧。

2、如果左右子树都是合法的 BST，我得看一下左右子树加上自己还是不是合法的 BST 了。因为按照 BST 的定义，当前节点的值应该大于左子树的最大值，小于右子树的最小值，否则就破坏了 BST 的性质。

3、因为题目要计算最大的节点之和，如果左右子树加上我自己还是一棵合法的 BST，也就是说以我为根的整棵树是一棵 BST，那我需要知道我们这棵 BST 的所有节点值之和是多少，方便和别的 BST 子树进行比较！

根据以上三点，站在当前节点的视角，需要知道以下具体信息：

1、左右子树是否是 BST。

2、左子树的最大值和右子树的最小值。

3、左右子树的节点值之和。

只有知道了这几个值，我们才能满足题目的要求，后面我们会想方设法计算这些值。

现在可以尝试用伪码写出算法的大致逻辑：

一、初步构思伪代码

// 全局变量，记录最终结果
int maxSum = 0;
/* 计算以 root 为根的二叉树的最大值 */
int findMax(TreeNode root) {}/* 计算以 root 为根的二叉树的最小值 */
int findMin(TreeNode root) {}/* 计算以 root 为根的二叉树的节点和 */
int findSum(TreeNode root) {}/* 判断以 root 为根的二叉树是否是 BST */
boolean isBST(TreeNode root) {}/* 遍历二叉树 */
void traverse(TreeNode root) {if (root == null) {return;}/******* 前序遍历位置 *******/// 判断左右子树是不是 BSTif (!isBST(root.left) || !isBST(root.right)) {goto next;}// 计算左子树的最大值和右子树的最小值int leftMax = findMax(root.left);int rightMin = findMin(root.right);// 判断以 root 节点为根的树是不是 BSTif (root.val <= leftMax || root.val >= rightMin) {goto next;}// 如果条件都符合，计算当前 BST 的节点之和int leftSum = findSum(root.left);int rightSum = findSum(root.right);int rootSum = leftSum + rightSum + root.val;// 计算 BST 节点的最大和this.maxSum = Math.max(maxSum, rootSum);/**************************/// 递归左右子树next:traverse(root.left);traverse(root.right);
}/* 主函数 */
public int maxSumBST(TreeNode root) {traverse(root);return maxSum;
}

初步构思代码问题：

稍作分析就会发现，这几个辅助函数都是递归函数，都要遍历输入的二叉树，外加traverse函数本身的递归，可以说是递归上加递归，所以这个解法的复杂度是非常高的。

但是根据刚才的分析，像leftMax、rootSum这些变量又都得算出来，否则无法完成题目的要求。

我们希望既算出这些变量，又避免辅助函数带来的额外复杂度，鱼和熊掌全都要！

其实是可以的，只要把前序遍历变成后序遍历，让traverse函数把辅助函数做的事情顺便做掉。

其他代码不变，我们让traverse函数做一些计算任务，返回一个数组：

// 全局变量，记录 BST 最大节点之和
int maxSum = 0;/* 主函数 */
public int maxSumBST(TreeNode root) {traverse(root);return maxSum;
}// 函数返回 int[]{ isBST, min, max, sum}
int[] traverse(TreeNode root) {int[] left = traverse(root.left);int[] right = traverse(root.right);/******* 后序遍历位置 *******/// 通过 left 和 right 推导返回值// 并且正确更新 maxSum 变量/**************************/
}

traverse(root)返回一个大小为 4 的 int 数组，我们暂且称它为res，其中：

res[0]记录以root为根的二叉树是否是 BST，若为 1 则说明是 BST，若为 0 则说明不是 BST；

res[1]记录以root为根的二叉树所有节点中的最小值；

res[2]记录以root为根的二叉树所有节点中的最大值；

res[3]记录以root为根的二叉树所有节点值之和。

其实这就是把之前分析中说到的几个值放到了res数组中，最重要的是，我们要试图通过left和right正确推导出res数组。

二、最终优化正确解法

C++代码

class Solution {public:int maxSum = 0;vector<int> traversal(TreeNode* node){if(!node){vector<int> tmp = {1, INT_MAX, INT_MIN, 0};return tmp;}vector<int> left = traversal(node->left);vector<int> right = traversal(node->right);vector<int> res(4, 0);if(left[0] == 1 && right[0] == 1 && node->val > left[2] && node->val < right[1]){res[0] = 1;res[1] = min(node->val, left[1]);res[2] = max(node->val, right[2]);res[3] = left[3] + right[3] + node->val;maxSum = max(maxSum, res[3]);}else res[0] = 0;return res;}int maxSumBST(TreeNode* root) {traversal(root);return maxSum;}
};

这样，这道题就解决了，traverse函数在遍历二叉树的同时顺便把之前辅助函数做的事情都做了，避免了在递归函数中调用递归函数，时间复杂度只有 O(N)。

你看，这就是后序遍历的妙用，相对前序遍历的解法，现在的解法不仅效率高，而且代码量少，比较优美。

如果当前节点要做的事情需要通过左右子树的计算结果推导出来，就要用到后序遍历。

因为以上几点都可以通过后序遍历的方式「顺便」计算出来，所以这道题使用后序遍历肯定是最高效的。

另外，我们要尽可能避免递归函数中调用其他递归函数，如果出现这种情况，大概率是代码实现有瑕疵，可以进行类似本文的优化来避免递归套递归。

总结

这道题的重难点首先是：明确当前节点需要做的事情是什么。
根据以上三点，站在当前节点的视角，需要知道以下具体信息：

1、左右子树是否是 BST。

2、左子树的最大值和右子树的最小值。

3、左右子树的节点值之和。

接着稍作分析就会发现，这几个辅助函数都是递归函数，都要遍历输入的二叉树，外加traverse函数本身的递归，可以说是递归上加递归，所以这个解法的复杂度是非常高的。

但是根据刚才的分析，像leftMax、rootSum这些变量又都得算出来，否则无法完成题目的要求。

我们希望既算出这些变量，又避免辅助函数带来的额外复杂度，鱼和熊掌全都要！

其实是可以的，只要把前序遍历变成后序遍历，让traverse函数把辅助函数做的事情顺便做掉。——这个是一个常见的巧妙算法思路！！！

其他代码不变，我们让traverse函数做一些计算任务，返回一个数组：

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