一、理论基础

1、基本鲸鱼优化算法

请参考这里。

2、混合策略改进的鲸鱼优化算法

（1）Sobol序列初始化种群

标准WOA采用随机方式对种群进行初始化初始种群的分布相对不均匀。本文采用Sobol序列对种群进行初始化，Sobol序列是一种随机序列，在种群的每一个维度上均由底数为2的Radical Inversion组成，且每一个维度的Radical Inversion都有各自不同的矩阵，从而产生不重复且均匀的点。为对比随机分布与Sobol序列产生随机数的空间分布，在[0,1][0,1][0,1]范围内产生规模为500的种群在二维空间的随机数分布图，由图1对比可知，经Sobol序列得到的种群分布更为均匀且对解空间的覆盖更完整。

（a）随机生成散点图

（b）Sobol序列生成散点图图1 随机法与Sobol序列生成个体分布图

（2）非线性时变因子和自适应权值

为了改善收敛因子a对算法的影响，本文提出一种分段非线性收敛因子，公式如下：{a=1+cos(π×tT),t≤Ta=cos(π×t−0.5TT),t>T(1)\begin{dcases}a=1+cos(\pi ×\frac tT),\quad \,\,\,\,\,\,t≤T\\a=cos(\pi×\frac{t-0.5T}{T}),\quad t>T\end{dcases}\tag{1}⎩⎪⎨⎪⎧a=1+cos(π×Tt),t≤Ta=cos(π×Tt−0.5T),t>T(1)图2为收敛因子与参数AAA在迭代次数为500时的分布图，从图中可看出，本文所提收敛因子aaa比原始收敛因子aaa在迭代早期及迭代后期均大，从而在没有改变全局勘探和局部开发的分割点的同时，增强了算法前期全局勘探和后期局部开发能力。

图2 收敛因子a和参数A分布图

考虑到捕猎过程中猎物目标对鲸鱼群位置更新的影响，本文提出一种自适应权值策略，公式如下：w(t)=2π×tan(tT)(2)w(t)=\frac2\pi×tan(\frac tT)\tag{2}w(t)=π2×tan(Tt)(2)于是位置更新公式变为：x(t+1)=xrand(t)×w−A×Drand,p<0.5,∣A∣>1(3)x(t+1)=x_{rand}(t)×w-A×D_{rand},\,p<0.5,|A|>1\tag{3}x(t+1)=xrand(t)×w−A×Drand,p<0.5,∣A∣>1(3)x(t+1)=x∗(t)×w−A×D1,p<0.5,∣A∣≤1(4)x(t+1)=x^*(t)×w-A×D_1,\,p<0.5,|A|≤1\tag{4}x(t+1)=x∗(t)×w−A×D1,p<0.5,∣A∣≤1(4)x(t+1)=D2eblcos(2πl)+x∗(t)×(1−w),p≥0.5(5)x(t+1)=D_2e^{bl}cos(2\pi l)+x^*(t)×(1-w),\,p≥0.5\tag{5}x(t+1)=D2eblcos(2πl)+x∗(t)×(1−w),p≥0.5(5)自适应权值随迭代次数的增加呈非线性增加的趋势。迭代初期权值较小，此时目标模糊，对位置更新影响不大；算法中后期，目标逐渐清晰，此时权值随迭代次数的增加逐渐变大，目标对鲸鱼个体的吸引力越来越强，由于采用全局最优解引导，故增强了局部开发能力，使得鲸鱼群能够更加快速和准确的找到目标解，有效加强算法寻优性能、加快算法收敛速度、提升算法稳定性。

（3）随机性学习策略

对于个体xxx，从种群中随机选出与之不同的个体xpx_pxp，通过比较两者的适应度值选择更优秀的个体，通过向更优秀的个体进行学习调整个体的位置。 xnew={x+rand(0,1)×(x−xp),f(xp)<f(x)x+rand(0,1)×(xp−x),f(xp)≥f(x)(6)x_{new}=\begin{dcases}x+rand(0,1)×(x-x_p),\quad f(x_p)<f(x)\\x+rand(0,1)×(x_p-x),\quad f(x_p)≥f(x)\end{dcases}\tag{6}xnew={x+rand(0,1)×(x−xp),f(xp)<f(x)x+rand(0,1)×(xp−x),f(xp)≥f(x)(6)其中，学习因子rand(0,1)rand(0,1)rand(0,1)是(0,1)(0,1)(0,1)间的随机数，体现了每个个体学习能力的差异。经过学习后，如果f(xp)<f(x)f(x_p)<f(x)f(xp)<f(x)，则种群接受新个体xnewx_{new}xnew并取代个体xxx，否则种群拒绝劣个体xnewx_{new}xnew。个体的随机性学习给予个体更
为丰富的信息，增强种群信息分享能力从而增加种群多样性，有效提升算法全局寻优性能。

（4）柯西变异策略

对于传统WOA算法易陷入局部最优的问题，结合柯西分布引入柯西变异策略，给予当前最优个体以柯西扰动，当个体陷入局部最优时，柯西算子能够产生较大步长使算法跳出局部最优，亦能够产生较小步长加快对最优解的搜索速度。因此，本文采用如下柯西变异公式，对当前最优个体进行位置更新：xnew∗(t)=x∗(t)×(1+cauchy(0,1))(7)x_{new}^*(t)=x^*(t)×(1+cauchy(0,1))\tag{7}xnew∗(t)=x∗(t)×(1+cauchy(0,1))(7)其中，xnew∗(t)x_{new}^*(t)xnew∗(t)为当前最优值经柯西扰动后得到的新值，cauchy(0,1)cauchy(0,1)cauchy(0,1)为柯西算子，标准柯西分布函数公式如下：f(x)=1π×(x2+1),x∈(−∞,+∞)(8)f(x)=\frac{1}{\pi×(x^2+1)},\quad x∈(-\infty,+\infty)\tag{8}f(x)=π×(x2+1)1,x∈(−∞,+∞)(8)由数学理论可知，柯西分布两端延伸能够产生距原点较远的随机数，能够对鲸鱼个体产生较强扰动，使经过扰动的鲸鱼具备迅速避开局部陷阱的能力。同时，与其他函数相比柯西分布最高峰值较低，能够缩短个体在搜索空间花费的时间，从而加快算法的收敛速度。

二、算法描述

MSWOA算法流程可描述如下：
a）初始化算法相关参数：种群规模NNN、空间维度dimdimdim、种群的可搜索空间[lb,ub][lb,ub][lb,ub]、最大迭代次数TTT。
b）采用Sobol序列初始化种群位置。
c）计算个体适应度值，并找出最优适应度值和对应的最优个体；若最优适应度值连续10代未发生变化，则根据式（7）对最优个体进行柯西变异操作。
d）根据式（1）更新参数aaa，进而更新AAA，根据式（2）更新参数www，并同时更新参数c,pc,pc,p。
e）当p<0.5p<0.5p<0.5时，若∣A∣>1|A|>1∣A∣>1，进入步骤fff，若∣A∣≤1|A|≤1∣A∣≤1，进入步骤ggg，当p≥0.5p≥0.5p≥0.5时，进入步骤hhh。
f）进行全局搜索，根据式（6）进行随机性学习更新较差个体位置，进一步根据式（3）更新个体位置。
g）进行包围猎物操作，根据式（4）更新个体位置。
h）进行螺旋气泡网捕食操作，根据式（5）更新个体位置。
i）判断是否满足迭代终止条件，满足则输出全局最优解及位置信息，否则进入步骤ccc继续执行。

三、仿真实验与结果分析

基于相同的种群规模、最大迭代次数及运行次数，在基准测试函数上比较MSWOA、WOA（鲸鱼优化算法）、BOA（蝴蝶优化算法）、GWO（灰狼优化算法）、GSA（引力搜索算法）、PSO（粒子群算法）、ABC（人工蜂群算法）的收敛速度和寻优精度。以F1~F4为例。
结果表明，基于混合策略改进的鲸鱼优化算法在寻优精度及收敛速度上均有明显提升。

四、参考文献

[1] 秋兴国, 王瑞知, 张卫国, 等. 基于混合策略改进的鲸鱼优化算法[J]. 计算机工程与应用, 2022, 58(1): 70-78.

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