(小规模)b牌棋盘完美覆盖数【整理】

(小规模)b牌棋盘完美覆盖数

农夫三拳@seu(drizzlecrj@gmail.com)

考虑一个普通的国际象棋棋盘，它被分成8*8（8行8列）的64个正方形。设有形状一样的多米诺骨牌，每张牌恰好覆盖棋盘上相邻的两个方格（即1*2的骨牌）。那么能否把32个这样的1*2骨牌放到棋盘上，使得任何两张牌均不重叠，每张多米诺骨牌覆盖两个方格，并且棋盘上所有的方格都被覆盖住？我们把这样一种排列称为被多米诺骨牌的完美覆盖。这是一个简单的排列问题，人们能够很快构造许多不同的完美覆盖。但是计算不同的完美覆盖的总数就不是一件容易的事了，不过，这还是有可能做到的。这个数由M.E.Fischer在其一篇名为Statistical Mechanics of Dimers on a Plane Lattice的论文中计算出了不同的完美覆盖总数为： 12988816 = 2⁴ * （901)² 。而后Fischer得出了更一般的公式用来求解1*2骨牌覆盖m*n（m，n至少一个为偶数)方格的公式，。其实这就是分子生物学著名的二聚物问题。

分析完上面的问题，大家自然会有一个问题，对于一般的1*b的方格来覆盖m*n的棋盘，完美覆盖数又是多少呢？这里，我们称1*b的方格为b-牌(b-omino)。一个已知的事实是，如果一个m*n的棋盘拥有b牌的完美覆盖，那么b是m的一个因子或者b是n的一个因子。本文将给出0<b<5，用来覆盖m*n棋盘的方法数（我们令n不大于m）：

1）b=1 的情况

显然，覆盖方法数只有1种

2）b=2的情况

前面提到了Fischer的三角公式，但是有个问题，如果结果很大的时候，需要给出取模解的时候，用公式就显得力不从心了。

i)而我们发现当n=2的时候，结果数刚好是Fibonacci数列。对于m较大可以用矩阵幂算法解决。

ii)n=3的时候可以推倒出递推式

以及边界条件

其中a_m代表在左上角将第一块骨牌横着放的总方案数，b_m代表在左上角竖着放第一块骨牌的方案数。

不难得出a_m的表达式，继而使用矩阵幂求出大数据求模的解。周源在WC08的讲稿中给出了a_m和b_m的生成函数：

iii) n>3的情况。其实我们注意到b=2，应该能够考虑到二进制，继而考虑到状态压缩动态规划。首先dfs出相邻两行的状态转移方式S_from->S_to,继而用动态规划转移得到每行的方案数H_s。不难看出时间复杂度为O(m*2ⁿ)。菜鱼同学利用特征方程计算了每行的方案数H_s=,由于第二项较小可以忽略，因此H_s约等于0.85*2.414ⁿ，即2ⁿ<Hs<3ⁿ。因此一个更加精确的时间复杂度为O(m*0.85*2.414ⁿ), 不难看出这里n的范围比较小，一般小于12。

3) b=3的情况或者b=4的情况

均可以利用上述推倒递推关系的方法求解。

最后推荐几个相关的资料供读者参考：

冯跃峰. 棋盘上的组合数学.[M]. 上海：上海教育出版社，1998.

沈晓斌棋盘的1*3骨牌骨牌覆盖的技术.[J]. 泉州师专学报, 1997,(2)

沈晓斌等1*4格牌覆盖棋盘的计数.[J]. 泉州师专学报, 2000,(2)

(小规模)b牌棋盘完美覆盖数【整理】相关推荐

对棋盘完美覆盖问题证明过程的质疑及其解决(续)
在上一次证明一个关于棋盘完美覆盖的问题时遗留了另一个问题没有解决.这个遗留的问题来自于一个没有被采用的证明方法.该方法的证明步骤中需要一个证明,该证明就是如果某一个棋盘完美覆盖存在同色相连的格子那么通 ...
对棋盘完美覆盖问题证明过程的质疑及其解决
所谓棋盘完美覆盖问题是这样的,在8乘8的国际象棋棋盘上,用1乘2矩形方块覆盖.棋盘如下图所示: 如果棋盘上所有的格子被覆盖,并且没有漏的也没有重复覆盖,那么这样的覆盖就是完美覆盖.现在要求证明在如下的 ...
Python学习demo01 创建牌-＞洗牌-＞发牌-＞整理牌
""" 启动后输入玩家数量和扑克牌副数,创建牌->洗牌->发牌->整理牌 """import randompuke = [ ...
iOS每日一记------------之中级完美大整理
iOS.mac开源项目及库汇总 UI 下拉刷新 EGOTableViewPullRefresh – 最早的下拉刷新控件. SVPullToRefresh – 下拉刷新控件. MJRefresh – 仅 ...
iOS每日一记之———————————————终级完美大整理
iOS.mac开源项目及库汇总 UI 下拉刷新 EGOTableViewPullRefresh – 最早的下拉刷新控件. SVPullToRefresh – 下拉刷新控件. MJRefresh – 仅 ...
C语言实现扑克牌 (4种玩法) 洗牌，发牌，整理牌
// 扑克牌的四种玩法 #include <stdio.h> #include <string.h> #include <stdlib.h> #include &l ...
autocomplete请求无数据时一直牌loading完美处理
<el-autocompletev-model="ruleForm.supplier"value-key="mchName"@blur="blu ...
多米诺骨牌最长牌阵java_棋盘的完美覆盖（多米诺骨牌完美覆盖）幻方(魔方阵)...
棋盘的完美覆盖: 一张8行8列的棋盘一共有64个方格,用一些形状相同的多米诺骨牌覆盖,每一张覆盖相邻的两个方格,没有相互重叠,能用32张这样的多米诺骨牌完全覆盖整张棋盘称为多米诺骨牌完美覆盖或者盖瓦. ...
php 108张牌洗牌,完美洗牌原理大揭秘手把手图文教程！呕心沥血的超级干货...
原标题:完美洗牌原理大揭秘 & 手把手图文教程!呕心沥血的超级干货先感慨一下,昨晚写到半夜,今天又修改了很多遍,我终于把这篇文章写完了. 然后自夸一下,我敢保证,你从来没有看过像这样的完美洗 ...

(小规模)b牌棋盘完美覆盖数【整理】

(小规模)b牌棋盘完美覆盖数【整理】相关推荐

最新文章

热门文章