有效数字

数学上用“四舍五入”的法则将一个位数很多的数表示成一定位数的数。如果一个近似数的误差限是它某一位的半个单位，则称它准确到这一位（即该位数字是准确的、有效的和可靠的）。并且，从该位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字都称为有效数字，即有：

定义1：设x∗x^*x∗是一个准确数，x是它的近似数，若
∣x∗−x∣<1/2×10−n|x^*-x|<1/2\times 10^{-n} ∣x∗−x∣<1/2×10−n
就是说，用x近似表示x∗x^*x∗时准确到小数点之后第n位（精确度），并把从该位起到x的第一位非零数字之间的一切数字都叫做有效数字，并把有效数字的位数叫做有效数位。

例如：若将数x用规格化形式表示，则有
x=±0⋅a1a2a3⋯as⋯ak×10m(a1≠0)x=\pm 0·a_1a_2a_3\cdots a_s\cdots a_k\times 10^m \quad (a_1\neq 0) x=±0⋅a1a2a3⋯as⋯ak×10m(a1=0)
其中，s为有效数字的位数，m为阶数。m的确定方法如下：

当∣x∣≥1|x|\geq 1∣x∣≥1时，则m=整数部分的位数；

当0.1≤∣x∣<10.1 \leq |x|<10.1≤∣x∣<1时，则m=0m=0m=0;

当∣x∣<0.1|x|<0.1∣x∣<0.1时，则m=−m=-m=−（小数点后零的个数）

若
∣x−x∗∣<12×10−n=12×10−(s−m)=12×10m−s,1≤s≤k(1)|x-x^*|<\frac{1}{2}\times 10^{-n} = \frac{1}{2}\times 10^{-(s-m)}=\frac{1}{2}\times 10^{m-s}, \quad 1\leq s\leq k \tag{1} ∣x−x∗∣<21×10−n=21×10−(s−m)=21×10m−s,1≤s≤k(1)
则x的有效数位为：
s=n+m(2)s=n+m \tag{2} s=n+m(2)
应用公式（1）和（2）可以判断一个数的某一位数字是否为有效数字，从而可确定该数的有效数位。

例1：

对于数0.08698,n=5,m=−1,s=n+m=40.08698,n=5,m=-1,s=n+m=40.08698,n=5,m=−1,s=n+m=4

对于数0.8698,n=4,m=0,s=n+m=40.8698,n=4,m=0,s=n+m=40.8698,n=4,m=0,s=n+m=4

对于数869.8,n=1,m=3,s=n+m=4869.8,n=1,m=3,s=n+m=4869.8,n=1,m=3,s=n+m=4

对于数8698,n=0,m=4,s=n+m=48698,n=0,m=4,s=n+m=48698,n=0,m=4,s=n+m=4

一个数精确到小数点后n位，并不表明它一定有n位有效数字。应注意有效数位s的计算。

例2：对于圆周率π=3.1415926⋯\pi=3.1415926\cdotsπ=3.1415926⋯，用四舍五入取小数点后4位时，近似值为3.14163.14163.1416，此时
∣π−3.1416∣≤12×10−4|\pi-3.1416|\leq \frac{1}{2}\times 10^{-4} ∣π−3.1416∣≤21×10−4
即有m=1,n=4m=1,n=4m=1,n=4,所以有效数位为s=n+m=5s=n+m=5s=n+m=5，绝对误差限为12×10−4\frac{1}{2}\times 10^{-4}21×10−4

如果取π=3.14\pi=3.14π=3.14，则m=1,n=2m=1,n=2m=1,n=2，有效数位为s=n+m=3s=n+m=3s=n+m=3，其绝对误差限为12×10−2\frac{1}{2}\times 10^{-2}21×10−2

例3：设x∗=8.000033x^*=8.000033x∗=8.000033，若取x=8.0000x=8.0000x=8.0000,则
∣x−x∗∣=0.000033=0.33×10−4<12×10−4=12×101−5|x-x^*|=0.000033=0.33\times 10^{-4}<\frac{1}{2}\times 10^{-4}=\frac{1}{2}\times 10^{1-5} ∣x−x∗∣=0.000033=0.33×10−4<21×10−4=21×101−5
于是有m=1,s=5,n=s−m=5−1=4m=1,s=5,n=s-m=5-1=4m=1,s=5,n=s−m=5−1=4。所以8.00008.00008.0000的有效数字为5位，它精确到小数点后4位

例4：设x∗=30.4500364⋯x^*=30.4500364\cdotsx∗=30.4500364⋯若取x=30.45004x=30.45004x=30.45004，则
∣x−x∗∣=0.0000036=0.36×10−5<12×10−5=12×102−7|x-x^*|=0.0000036=0.36\times 10^{-5}<\frac{1}{2}\times 10^{-5}=\frac{1}{2}\times 10^{2-7} ∣x−x∗∣=0.0000036=0.36×10−5<21×10−5=21×102−7
所以，30.4500430.4500430.45004的有效数字为7位，它精确到小数点后5位。

相对误差和有效数位之间的关系

根据有效数字和相对误差的概念可以得出两者之间的关系。

定理2：若近似数x=±0.a1a2a3⋯as−1as×10m(a1≠0)x=\pm 0.a_1a_2a_3\cdots a_{s-1}a_s \times 10^m(a_1\neq 0)x=±0.a1a2a3⋯as−1as×10m(a1=0)具有s位有效数字，则其相对误差为：
er(x)≤ϵr=12a1×10−s+1e_r(x)\leq \epsilon_r=\frac{1}{2a_1}\times 10^{-s+1} er(x)≤ϵr=2a11×10−s+1
例1：求6\sqrt{6}6的近似值，使其相对误差不超过12×10−3\frac{1}{2}\times 10^{-3}21×10−3

解：因为6=2.4494\sqrt 6=2.44946=2.4494，取a1=2a_1=2a1=2，设6\sqrt 66取s位有效数字，则
12a1×10−s+1=12×2×10−s+1=12×10−3s=3⋯,故s≥4,6≈2.449\frac{1}{2a_1}\times 10^{-s+1}=\frac{1}{2\times 2}\times 10^{-s+1}=\frac{1}{2}\times 10^{-3} \\ s=3\cdots ,故s\geq 4,\,\sqrt 6\approx 2.449 2a11×10−s+1=2×21×10−s+1=21×10−3s=3⋯,故s≥4,6≈2.449
定理3：若近似数x=±0.a1a2a3⋯as×10m（a1≠0）x=\pm 0.a_1a_2a_3\cdots a_s \times 10^m（a_1\neq 0）x=±0.a1a2a3⋯as×10m（a1=0）的相对误差
er(x)≤12a1+1×10−s+1e_r(x)\leq \frac{1}{2a_1+1}\times 10^{-s+1} er(x)≤2a1+11×10−s+1
则该近似数有s位有效数字。

从误差和有效数字的定义以及上述两个定理可以看出：绝对误差与小数点后的位数（数的精确度）有关；相对误差与有效数字的位数有关。

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