常量与变量的运算公式非常简单，这里不做赘述。所以我们重点会放在矩阵、行列式，以及向量的运算公式上。

文章目录

矩阵运算公式
- 矩阵加减法（两矩阵之间要求维度相同）
- - 运算法则
- 矩阵乘法——哈达玛积(Hadamard product)（两矩阵之间要求维度相同）
- - 运算法则
- 矩阵乘法——叉乘/向量外积（要求前列与后行元素数一致）
- - 运算法则
- 矩阵乘法——内积（两矩阵之间要求维度相同）
- - 运算法则
- 矩阵乘法——克罗内科积（Kronecker product）（维度没有要求）
- - 运算法则
矩阵与常数的运算
- 运算法则

矩阵运算公式

矩阵运算主要分为加减乘，而没有除法。除法运算通常是计算除数矩阵的逆矩阵，然后再用乘法。而矩阵乘法，常用的主要有两种，点乘和叉乘。

通常矩阵（Matrix）之间要想进行某种数学运算，都多少有其维度的限制性要求。比如要求矩阵之间行列数相同，或者要求前矩阵的列数和后矩阵的行数相等。

矩阵加减法（两矩阵之间要求维度相同）

假设有如下矩阵：

A=[a00a01⋯a0ja10a11⋯a1j⋯⋯⋯⋯ai0ai1⋯aij]A =\begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & \cdots &a_{0j} \\ a_{10} & a_{11} & \cdots & a_{1j} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{i0} & a_{i1} & \cdots & a_{ij} \end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎡a00a10⋯ai0a01a11⋯ai1⋯⋯⋯⋯a0ja1j⋯aij⎦⎥⎥⎤

你会发现我这里用了一个跟传统教科书不太一样的下标表示。如果你写过程序，就能明白矩阵的元素遍历，和程序里常见的二维数组遍历的形式很像：

用C系语言描述，大概就是这一个样子的

for (int i = 0; i < X; i++) {for (int j = 0; j < Y; j++) {///}
}

iii 通常被定义为矩阵的行， jjj 通常被定义为矩阵的列。所以通常矩阵A和矩阵B进行加减法运算时，新矩阵的元素就是这样的：

A±B=[a00±b00,a01±b01,⋯a0j±b0ja10±b10,a11±b11,⋯a1j±b1j⋯⋯⋯⋯ai0±bi0,ai1±bi1,⋯aij±bij]A \pm B =\begin{bmatrix} a_{00} \pm b_{00}, & a_{01} \pm b_{01}, & \cdots &a_{0j} \pm b_{0j} \\ a_{10} \pm b_{10}, & a_{11} \pm b_{11}, & \cdots & a_{1j} \pm b_{1j} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{i0} \pm b_{i0}, & a_{i1} \pm b_{i1}, & \cdots & a_{ij} \pm b_{ij} \end{bmatrix} A±B=⎣⎢⎢⎡a00±b00,a10±b10,⋯ai0±bi0,a01±b01,a11±b11,⋯ai1±bi1,⋯⋯⋯⋯a0j±b0ja1j±b1j⋯aij±bij⎦⎥⎥⎤

运算法则

满足交换律
A±B=B±AA \pm B = B \pm A A±B=B±A

满足结合律
A±B±C=A±(B±C)=(A±B)±CA \pm B \pm C = A \pm (B \pm C) = (A \pm B) \pm C A±B±C=A±(B±C)=(A±B)±C

矩阵乘法——哈达玛积(Hadamard product)（两矩阵之间要求维度相同）

这个运算是比较常用的一种运算，通常当作掩码运算规则使用。

A⋅B=[a00⋅b00,a01⋅b01,⋯a0j⋅b0ja10⋅b10,a11⋅b11,⋯a1j⋅b1j⋯⋯⋯⋯ai0⋅bi0,ai1⋅bi1,⋯aij⋅bij]A \cdot B =\begin{bmatrix} a_{00} \cdot b_{00}, & a_{01} \cdot b_{01}, & \cdots &a_{0j} \cdot b_{0j} \\ a_{10} \cdot b_{10}, & a_{11} \cdot b_{11}, & \cdots & a_{1j} \cdot b_{1j} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{i0} \cdot b_{i0}, & a_{i1} \cdot b_{i1}, & \cdots & a_{ij} \cdot b_{ij} \end{bmatrix} A⋅B=⎣⎢⎢⎡a00⋅b00,a10⋅b10,⋯ai0⋅bi0,a01⋅b01,a11⋅b11,⋯ai1⋅bi1,⋯⋯⋯⋯a0j⋅b0ja1j⋅b1j⋯aij⋅bij⎦⎥⎥⎤

数学上常以点号表示这个计算，也偶尔可以在一些国外教科书上见到 A∘BA \circ BA∘B 这一类的表示。不过要想国际都能理解的话，你可以用函数式的形式，即 hadamard(A,B)hadamard(A,B)hadamard(A,B) 进行表示。

运算法则

满足交换律
A⋅B=B⋅AA \cdot B = B \cdot A A⋅B=B⋅A

满足结合律
A⋅B⋅C=A⋅(B⋅C)=(A⋅B)⋅CA \cdot B \cdot C = A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C A⋅B⋅C=A⋅(B⋅C)=(A⋅B)⋅C

矩阵乘法——叉乘/向量外积（要求前列与后行元素数一致）

叉乘是高数或者线性代数课本上最常考的一类运算，通常用 A×BA \times BA×B 的形式进行表示，函数式写作 cross(A,B)cross(A,B)cross(A,B) 。它是否能够执行有一个要求，对于n行m列的矩阵 A2×3A_{2 \times 3}A2×3，它只能跟行数与A的列数相等的 B3×nB_{3 \times n}B3×n 相乘。

例如：

A23×B32=[a00a01a02a10a11a12]×[b00b01b10b11b20b21]A_{23} \times B_{32} = \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} b_{00} & b_{01} \\ b_{10} & b_{11} \\ b_{20} & b_{21} \end{bmatrix} A23×B32=[a00a10a01a11a02a12]×⎣⎡b00b10b20b01b11b21⎦⎤

=[a00⋅b00+a01⋅b10+a02⋅b20,a00⋅b01+a01⋅b11+a02⋅b21a10⋅b00+a11⋅b10+a12⋅b20,a10⋅b01+a11⋅b11+a12⋅b21]= \begin{bmatrix} a_{00} \cdot b_{00} + a_{01} \cdot b_{10} + a_{02} \cdot b_{20}, & a_{00} \cdot b_{01} + a_{01} \cdot b_{11} + a_{02} \cdot b_{21} \\ a_{10} \cdot b_{00} + a_{11} \cdot b_{10} + a_{12} \cdot b_{20}, & a_{10} \cdot b_{01} + a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} \end{bmatrix} =[a00⋅b00+a01⋅b10+a02⋅b20,a10⋅b00+a11⋅b10+a12⋅b20,a00⋅b01+a01⋅b11+a02⋅b21a10⋅b01+a11⋅b11+a12⋅b21]

运算法则

不满足交换律

A×B≠B×AA \times B \neq B \times A A×B=B×A

满足结合律

A×B×C=A×(B×C)=(A×B)×CA \times B \times C = A \times (B \times C) = (A \times B) \times C A×B×C=A×(B×C)=(A×B)×C

矩阵乘法——内积（两矩阵之间要求维度相同）

也是比较常用的一种运算。大多数的空间滤波函数的实现方式都依赖这个内积，函数式写作 dot(A,B)dot(A, B)dot(A,B)

假设：

A=[a00a01a02a10a11a12]A =\begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} \end{bmatrix} A=[a00a10a01a11a02a12]

B=[b00b01b02b10b11b12]B =\begin{bmatrix} b_{00} & b_{01} & b_{02} \\ b_{10} & b_{11} & b_{12} \end{bmatrix} B=[b00b10b01b11b02b12]

则 AB=a00⋅b00+a01⋅b01+a02⋅b02+a10⋅b10+a11⋅b11+a12⋅b12AB= a_{00} \cdot b_{00} + a_{01} \cdot b_{01} + a_{02} \cdot b_{02} + a_{10} \cdot b_{10} + a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{12}AB=a00⋅b00+a01⋅b01+a02⋅b02+a10⋅b10+a11⋅b11+a12⋅b12

运算法则

满足交换律
AB=BAAB = BA AB=BA

满足结合律
ABC=(AB)C=A(BC)ABC = (AB)C = A(BC) ABC=(AB)C=A(BC)

矩阵乘法——克罗内科积（Kronecker product）（维度没有要求）

这是唯一个对矩阵维度没有要求的积，可以认为是一种排列组合。

A⊗B=[a11B⋯a1nB⋮⋱⋮am1B⋯amnB]A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{{11}}B&\cdots &a_{{1n}}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{m1}}B&\cdots &a_{{mn}}B\end{bmatrix}} A⊗B=⎣⎢⎡a11B⋮am1B⋯⋱⋯a1nB⋮amnB⎦⎥⎤

[1231]⊗[0321]=[1⋅01⋅32⋅02⋅31⋅21⋅12⋅22⋅13⋅03⋅31⋅01⋅33⋅23⋅11⋅21⋅1]=[0306214209036321]{\begin{bmatrix}1&2\\3&1\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&3\\2&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 0&1\cdot 3&2\cdot 0&2\cdot 3\\1\cdot 2&1\cdot 1&2\cdot 2&2\cdot 1\\3\cdot 0&3\cdot 3&1\cdot 0&1\cdot 3\\3\cdot 2&3\cdot 1&1\cdot 2&1\cdot 1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&3&0&6\\2&1&4&2\\0&9&0&3\\6&3&2&1\end{bmatrix}} [1321]⊗[0231]=⎣⎢⎢⎡1⋅01⋅23⋅03⋅21⋅31⋅13⋅33⋅12⋅02⋅21⋅01⋅22⋅32⋅11⋅31⋅1⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡0206319304026231⎦⎥⎥⎤

运算法则

满足交换律
A⊗B=B⊗AA \otimes B = B \otimes A A⊗B=B⊗A

满足结合律
A⊗B⊗C=(A⊗B)⊗C=A⊗(B⊗C)A \otimes B \otimes C = (A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C) A⊗B⊗C=(A⊗B)⊗C=A⊗(B⊗C)

矩阵与常数的运算

常数与矩阵的加法、减法、乘法，都可以认为是常数对矩阵的全部元素的运算。通常我们以空心字母表示矩阵比如 M\mathbb{M}M，以实心小写字母表示常数比如 ccc，它们的运算关系表示如下。因此，可以得到这样的一个模板：

M⋆c=[M00⋆c,M01⋆c,⋯,M0m⋆cM10⋆c,M11⋆c,⋯,M1m⋆c⋮⋮Mn0⋆c,Mn1⋆,⋯Mnm⋆c]\mathbb{M} \star c = \begin{bmatrix} M_{00} \star c, & M_{01} \star c, & \cdots, & M_{0m} \star c \\ M_{10} \star c, & M_{11} \star c, & \cdots, & M_{1m} \star c \\ \vdots & & & \vdots \\ M_{n0} \star c, & M_{n1} \star, & \cdots & M_{nm} \star c \end{bmatrix} M⋆c=⎣⎢⎢⎢⎡M00⋆c,M10⋆c,⋮Mn0⋆c,M01⋆c,M11⋆c,Mn1⋆,⋯,⋯,⋯M0m⋆cM1m⋆c⋮Mnm⋆c⎦⎥⎥⎥⎤

⋆\star⋆ 可以是 +−×÷+ - \times \div+−×÷。

运算法则

满足交换律，结合律

数学基础知识总结 —— 6. 基本矩阵运算公式相关推荐

【本科数学基础知识整理】
[本科数学基础知识整理] 文章目录前言一.高等数学二.微积分 1. 三. 六.随机变量七.概率论 7.1 概念解释(PDF.PMF.CDF) 7.1.1 PMF:概率质量函数 7.1.2 PD ...
【知识】人工智能数学基础知识
数学是打开科学大门的钥匙.--培根数学基础知识蕴含着处理智能问题的基本思想与方法,也是理解复杂算法的必备要素.今天的种种人工智能技术归根到底都建立在数学模型之上,要了解人工智能,首先要掌握必备的数学 ...
计算机c语言与数学知识的联系,计算机数学基础知识
计算机数学基础是计算机专业必修的数学基础知识.以下是小编整理的关于计算机数学基础知识,希望大家认真阅读! 1.计算机数学基础是计算机专业必修的数学基础知识.针对计算机专业的特点,加强了Mathema ...
java相关的数学知识_程序员必备的一些数学基础知识
作为一个标准的程序员,应该有一些基本的数学素养,尤其现在很多人在学习人工智能相关知识,想抓住一波人工智能的机会.很多程序员可能连这样一些基础的数学问题都回答不上来. 矩阵A(m,n)与矩阵B(n,k) ...
机器学习所需要的数学基础知识---矩阵(1)
机器学习所需要的数学基础知识-矩阵(1) 本系列文章为机器学习所需要的数学基础知识,在机器学习文章中如需要,会给出本系列文章的链接,如有问题欢迎给我留言.数学公式使用Letex编辑,原文博客http: ...
VSLAM算法中的数学基础知识详细了解
学习SLAM经验告诉我,入门SLAM一般只需要两种两个方面的条件,一是要有扎实的数学基础,二是要有强大的动手编程能力,但是这两个条件对于刚入门的同学来说,极具挑战性. 学习SLAM的心里历程:本来先研 ...
可视化中的数学基础知识
一,坐标系 1.坐标系与坐标映射浏览器的四个图形系统通用的坐标系分别为: HTML 采用的是窗口坐标系,以参考对象(参考对象通常是最接近图形元素的 position 非 static 的元素)的元素 ...
计算机图形学中需要掌握的数学基础知识有哪些？
计算机图形学中使用了大量数学知识,尤其是矩阵和线性代数.虽然我们倾向于认为3D图形编程是紧跟最新技术的领域之一(它在很多方面确实是),但它用到的很多技术实际上可以追溯到上百年前,其中一些甚至是由文艺复 ...
人工智能数学基础知识复习（一）——导数、偏导数、方向导数、梯度
从事AI行业最重要的知识莫过于数学了,或者说对于计算机领域乃至工科领域都是很重要的.最近觉得数学知识有点遗忘,遂在网易云课堂购买了唐宇迪老师的<数据科学人工智能-必备数学基础>课程学习,这 ...
动手学深度学习需要这些数学基础知识
https://www.toutiao.com/a6716993354439066124/ 本附录总结了本书中涉及的有关线性代数.微分和概率的基础知识.为避免赘述本书未涉及的数学背景知识,本节中的少数 ...

数学基础知识总结 —— 6. 基本矩阵运算公式

文章目录

矩阵运算公式

矩阵加减法（两矩阵之间要求维度相同）

运算法则

矩阵乘法——哈达玛积(Hadamard product)（两矩阵之间要求维度相同）

运算法则

矩阵乘法——叉乘/向量外积（要求前列与后行元素数一致）

运算法则

矩阵乘法——内积（两矩阵之间要求维度相同）

运算法则

矩阵乘法——克罗内科积（Kronecker product）（维度没有要求）

运算法则

矩阵与常数的运算

运算法则

数学基础知识总结 —— 6. 基本矩阵运算公式相关推荐

最新文章

热门文章