递归的定义

函数定义中调用函数自身的方式称为递归。就像一个人站在装满镜子房间中，看到的影响就是递归的结果。
数学上有个经典的递归例子叫阶乘：

 n！=n(n-1)(n-2)......(1)

另一种表达阶乘的方式

      1   n=0
n！= n(n-1)！ otherwise

这个定义说明0的阶乘按定义是1，其他数字的阶乘定义为这个数字乘以比这个数字小1数的阶乘。递归不是循环，因为每次递归都会计算比它更小数的阶乘，直到0！。0！是已知的值，被称为递归的基例，当递归到底了，就需要一个能直接算出值的表达式。
阶乘的例子揭示了递归的两个关键特征。
（1）存在一个或多个基例，基例不需要再次递归，它是确定的表达式。
（2）所有递归链要以一个或多个基例结尾。
根据用户输入的整数n，计算并输出n的阶乘：

def fact(n):if n==0:return 1  #当n=0，fact()函数不再使用递归函数，返回值1else:return n*fact(n-1) #当n != 0，通过递归返回n与n-1阶乘的乘积
num=int(input("请输入一个整数："))
print(fact(abs(num)))
--------------------------------------------------------------
输出结果：
请输入一个整数：5
120

递归遵循函数的语义，每次调用都会引起新函数的开始，表示它有本地变量值的副本，包括函数的参数。例如5！的递归调用，每次函数调用时，函数参数的副本会临时存储，递归中各函数再运算自己的参数，相互没有影响，当基例结束运算并返回值时，各函数逐层结束运算，想调用者返回计算结果。

循环和递归的区别

1、利用循环绘制大小不同的五角星。

import turtle
def draw_wjx(size):i=1while i<5:turtle.fd(size)turtle.rt(144)i +=1
def main():turtle.penup()turtle.backward(200)turtle.pendown()turtle.pensize(3)turtle.pencolor("red")j=200while j<=300:draw_wjx(j)j +=50turtle.done()main()

2、利用递归绘制不同大小的五角星

import turtle
def draw_wjx2(size):i=1while i<5:turtle.fd(size)turtle.rt(144)i +=1size+=50if size <=300:draw_wjx2(size) #递归
def main():turtle.penup()turtle.backward(200)turtle.pendown()turtle.pensize(3)turtle.pencolor("red")draw_wjx2(200)turtle.done()main()

总结：循环和递归的区别
循环由已知推未知，不断向后。
递归由未知寻找已知，不断向前，递归的实质是出入栈，效率较低。

递归函数的实例

科赫雪花

科赫雪花绘制方法：
（1）正整数n代表科赫雪花的阶数，表示生成科赫雪花过程的操作次数。科赫雪花初始化阶数为0，表示一个长度为L的直线。
（2）将直线L等分成3段，每段长度为L/3。
（3）中间一段用边长为L/3的等边三角形的两个边代替，这样得到1阶的科赫雪花曲线。
（4）重复前面（2）（3）的操作。

import turtle
def draw_koch(size,n):if n == 1:turtle.fd(size)   #  1阶的科赫雪花曲线就是一条直线else:for angle in [0,60,-120,60]:  # turtle在“尖”的四条线上改变的角度，分别为0°，60°，-120°，60°turtle.left(angle) # 对应上边四个角度，一共需要转4次弯，画出本阶的四条线，draw_koch(size/3,n-1)# 每个角度下的一个边，对应低一阶的科赫雪花曲线的“尖”；def main():turtle.setup(800,400)turtle.speed(0)turtle.penup()turtle.goto(-300,-50)turtle.pendown()turtle.pensize(2)draw_koch(200,4)turtle.hideturtle() #将光标隐藏main()

输出结果

前面的代码只是完成一个由“尖”组成的“边”，并不是完整的科赫雪花曲线。
完整的科赫雪花曲线由3个“边”组成，转动120度，使得科赫雪花曲线能围城一个三角形，形成最终的科赫雪花效果。

import turtle
def draw_koch(size,n):'''科赫曲线--一个由“尖”组成的“边”'''if n == 1:turtle.fd(size)else:for angle in [0,60,-120,60]:turtle.left(angle)draw_koch(size/3,n-1)
def draw_into():'''画笔初始化'''turtle.setup(600,600)turtle.speed(0)turtle.penup()turtle.goto(-200,100)turtle.pendown()turtle.pensize(2)def main(size,n): '''完整的n阶科赫雪花曲线'''draw_into()draw_koch(size,n)  # 完整的科赫雪花曲线由3个“边”组成。turtle.right(120)#转动120度，使得科赫曲线能围城一个三角形，形成最终的科赫雪花draw_koch(size,n)turtle.right(120)draw_koch(size,n)turtle.hideturtle()main(400,5)

输出的结果

根据科赫雪花绘制的方法绘制雪花晶片

雪花晶片

（1）当阶数为1时，画出一条直线L。
（2）当阶数大于1时，先将直线二等分，即L/2，左转60度，画出长度L/3的直线，再沿着直线移动-L/3长度回到二等分的位置，再左转-120度，画出长度L/3的直线，再沿着直线移动-L/3长度回到二等分的位置，最后左转60度，再进行二等分。

import turtle
def draw_snow(size,n):if n == 1: turtle.fd(size)  #当n=1阶时，绘制直线else:draw_snow(size/2,n-1) #当n>1阶时,将直线进行二等分 for  angle in [60,-120]:turtle.left(angle)# 左转60度，画出长度L/3的直线，再沿着直线移动-L/3长度回到二等分的位置，draw_snow(size/3,n-1)turtle.fd(-size/3)turtle.left(60) #最后左转60度draw_snow(size/2,n-1) #再进行二等分
def draw_into():'''画笔初始化'''turtle.setup(600,600)turtle.speed(0)turtle.penup()turtle.goto(0,0)turtle.pendown()turtle.pensize(2)turtle.left(90)def main(size,n):draw_into()draw_snow(size,n)turtle.hideturtle()main(200,5)

输出结果：

绘制6片晶片形成完整的晶片雪花效果

import turtle
def draw_snow(size,n):
'''绘制晶片'''if n == 1:turtle.fd(size)else:draw_snow(size/2,n-1)for  angle in [60,-120]:turtle.left(angle)draw_snow(size/3,n-1)turtle.fd(-size/3)turtle.left(60)draw_snow(size/2,n-1)
def draw_into():'''画笔初始化'''turtle.setup(600,600)turtle.speed(0)turtle.penup()turtle.goto(0,0)turtle.pendown()turtle.pensize(2)turtle.left(90) #将画笔朝上def main(size,n):draw_into()i=1while i <=6: #绘制6片晶片turtle.goto(0,0) #每次回到原点位置绘制draw_snow(size,n)turtle.right(60) #每片晶片的角度60度，绘制6次，形成完整的雪花晶片turtle.hideturtle() #每片绘制完将光标隐藏turtle.done() #结束绘制main(200,5) #直线长度为200, 5阶的雪花晶片

输出结果

汉诺塔

汉诺塔源于真实的故事，在世界某个地方有个很虔诚的宗教组织，期中僧侣维护着一项神圣任务：保持宇宙时间。在时间的最开始，僧侣在平台上竖立了3个垂直杆，在最左侧上有64个不同半径的金色同心圆盘，直径较大的圆盘堆放在下方，形成金字塔样的整体外观，僧侣们的任务是将有所圆盘从最左侧杆子移动到最右侧杆子，这个宗教认为当僧侣们完成任务的时候，万事万物将会化为乌有，宇宙结束。为了保持神圣的顺序，僧侣们移动圆盘需要尊从特定的规则，一次只能移动一个盘子，盘子只能在3个杆子之间移动，更大的盘子不能放在更小的盘子上面。
实现把 A 的 n 个盘子移动到 C（盘子编号是 [1, n] ），要求每次只能移动1个盘子，大盘子只能放在小盘子下面。
1、1个盘子移动时

直接从A移到C上
2、2个盘子移动时

此时借助中间B杆子，盘子1移到B杆子，盘子2移到C杆子，再将B杆子中的盘子1移到C杆子上。即A->B，A->C，B->C。
3、3个盘子移动时

借助中间B杆子，盘子1从A杆移到C杆子，盘子2从A杆移到B杆，再将盘子1从C杆移到B杆中，将盘子3从A杆移到C杆，将盘子1从B杆移到A杆，将盘子2从B杆移到C杆，最后将盘子1从A杆移到C杆。即A->C，A->B，C->B，A->C (此时最大的盘子已经移动到C。接下来剩下的要从B经过A（新的过度柱）移动到C，即B->A，B->C，A->C。
4、思路
（1）当 n == 1时，直接将盘子从 A 移动到C
（2）当 n > 1时，可以拆分成3大步骤
①将 n– 1 个盘子从 A 移动到B，可以利用递归调用

②将编号n最大的盘子从A移到C

③ 将编号n-1的盘子从B移到C，可以利用递归调用

def hanoi(n,A,B,C):         #定义汉诺塔函数,参数n是圆盘数，A、B、C是3根柱if n==1:                 #判断圆盘数，如果等于1，递归条件print("第{}个盘子从{}---->{}".format(n,A,C))   # 直接将A柱上的圆盘移动到C柱上else:  #否则，进行递归移动hanoi(n-1,A,C,B)  #递归将A柱最上方的n-1个盘子落在B柱print("第{}个盘子从{}---->{}".format(n,A,C))     # 将最大的盘子移到C柱上hanoi(n-1,B,A,C)  #递归将B柱上的n-1个盘子，移到C柱上hanoi(3,'A','B','C')               #调用函数

第1个盘子从A---->C
第2个盘子从A---->B
第1个盘子从C---->B
第3个盘子从A---->C
第1个盘子从B---->A
第2个盘子从B---->C
第1个盘子从A---->C

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