C语言经典问题——兑换硬币

兑换硬币问题

兑换硬币问题是C语言的一个经典问题。题目如下：

现有一张1元纸币，欲将其兑换为1分、2分、5分硬币共60枚，请列出所有兑换方案。

我们可以利用分支和循环来解决这个问题。

最简单的方法——三重循环法

最“无脑”也是最容易想到的方法是利用三重循环。其代码如下所示：

#include <stdio.h>
int main (void)
{int i = 0; int one, two, five; for (one = 0; one <= 60; one++){for (two = 0; two <= 50; two++){for (five = 0; five <= 20; five++){if ((one * 1 + two * 2 + five * 5 == 100) && (one + two + five == 60)){i++; printf ("兑换方案%2d：1分硬币%2d枚，2分硬币%2d枚，5分硬币%2d枚\n", i, one, two, five); }}}}printf ("共有%d种兑换方案\n", i); return 0;
}

输出结果如下：

兑换方案 1：1分硬币20枚，2分硬币40枚，5分硬币 0枚
兑换方案 2：1分硬币23枚，2分硬币36枚，5分硬币 1枚
兑换方案 3：1分硬币26枚，2分硬币32枚，5分硬币 2枚
兑换方案 4：1分硬币29枚，2分硬币28枚，5分硬币 3枚
兑换方案 5：1分硬币32枚，2分硬币24枚，5分硬币 4枚
兑换方案 6：1分硬币35枚，2分硬币20枚，5分硬币 5枚
兑换方案 7：1分硬币38枚，2分硬币16枚，5分硬币 6枚
兑换方案 8：1分硬币41枚，2分硬币12枚，5分硬币 7枚
兑换方案 9：1分硬币44枚，2分硬币 8枚，5分硬币 8枚
兑换方案10：1分硬币47枚，2分硬币 4枚，5分硬币 9枚
兑换方案11：1分硬币50枚，2分硬币 0枚，5分硬币10枚
共有11种兑换方案

稍加改进——双重循环法

通过分析上面的程序，我们可以发现，通过利用变量one，two和five之间的关系，即one+two+five=60，我们可以减少一层循环，从而达到代码的优化。改进后的代码如下：

#include <stdio.h>
int main(void)
{int i = 0;int one, two, five;for (five = 0; five < 20; five++){for (two = 0; two < 50; two++){one = 60 - two - five;if (one + two * 2 + five * 5 == 100){i++;printf ("兑换方案%2d：1分硬币%2d枚，2分硬币%2d枚，5分硬币%2d枚\n", i, one, two, five);}}}printf ("共有%d种兑换方案\n", i); return 0;
}

输出结果如下：

兑换方案 1：1分硬币20枚，2分硬币40枚，5分硬币 0枚
兑换方案 2：1分硬币23枚，2分硬币36枚，5分硬币 1枚
兑换方案 3：1分硬币26枚，2分硬币32枚，5分硬币 2枚
兑换方案 4：1分硬币29枚，2分硬币28枚，5分硬币 3枚
兑换方案 5：1分硬币32枚，2分硬币24枚，5分硬币 4枚
兑换方案 6：1分硬币35枚，2分硬币20枚，5分硬币 5枚
兑换方案 7：1分硬币38枚，2分硬币16枚，5分硬币 6枚
兑换方案 8：1分硬币41枚，2分硬币12枚，5分硬币 7枚
兑换方案 9：1分硬币44枚，2分硬币 8枚，5分硬币 8枚
兑换方案10：1分硬币47枚，2分硬币 4枚，5分硬币 9枚
兑换方案11：1分硬币50枚，2分硬币 0枚，5分硬币10枚
共有11种兑换方案

我们得到了相同的输出结果，可见这种想法是可行的。

最优方法——单重循环法

实际上，这道题只用单重循环也是可以解决的。
我们再次对变量one，two和five之间的关系进行分析，不难得出以下两个关系式：

one + two + five = 60
one + two × 2 + five × 5 = 100

整理之后，得：

two + five × 4 = 40，即 two = 40 - five × 4
five ≤ 10

根据上面的分析，我们可以再次优化代码，如下所示：

#include <stdio.h>
int main(void)
{int i = 0;int one, two, five;for (five = 0; five <= 10; five++){two = 40 - 4 * five;one = 60 - two - five;if (one + two * 2 + five * 5 == 100){i++;printf ("兑换方案%2d：1分硬币%2d枚，2分硬币%2d枚，5分硬币%2d枚\n", i, one, two, five);}}printf ("共有%d种兑换方案\n", i); return 0;
}

输出结果依旧和上面的两个程序相同：

兑换方案 1：1分硬币20枚，2分硬币40枚，5分硬币 0枚
兑换方案 2：1分硬币23枚，2分硬币36枚，5分硬币 1枚
兑换方案 3：1分硬币26枚，2分硬币32枚，5分硬币 2枚
兑换方案 4：1分硬币29枚，2分硬币28枚，5分硬币 3枚
兑换方案 5：1分硬币32枚，2分硬币24枚，5分硬币 4枚
兑换方案 6：1分硬币35枚，2分硬币20枚，5分硬币 5枚
兑换方案 7：1分硬币38枚，2分硬币16枚，5分硬币 6枚
兑换方案 8：1分硬币41枚，2分硬币12枚，5分硬币 7枚
兑换方案 9：1分硬币44枚，2分硬币 8枚，5分硬币 8枚
兑换方案10：1分硬币47枚，2分硬币 4枚，5分硬币 9枚
兑换方案11：1分硬币50枚，2分硬币 0枚，5分硬币10枚
共有11种兑换方案

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