考研数学 第5讲一元微分几何应用
文章目录
- 一.极限与最值的概念
- 二.单调性与极值判别
- 必要条件
- 判断极值的充分条件
- 第一充分条件
- 第二充分条件（二阶导推出极值）
- 第三充分条件
- 例1.5.1
- 例1.5.3（极值反推条件）
- 例1.5.4
- 三.凹凸性与拐点的概念
- 1.凹凸点的定义
- 2. 拐点
- 拐点连续即可 拐点是坐标（点）不是x=？
- 四. 凹凸性与拐点的判别
- 1.判别凹凸性
- 拐点的必要条件（二阶可导存在）
- 判别拐点的第一充分条件
- 判别拐点的第二充分条件（三阶可导不等0且二导为0）
- 证明：
- 第三充分条件（高阶导）
- 例1.5.5
- 七. 函数作图的一般过程
- 例1.5.6
- 五.渐进线
- 1.铅锤渐进线
- 2. 水平渐进线
- 3.斜渐近线
- 例1.5.7
- 例1.5.8
- 六.最值或取值范围（全局）
- 例1.5.10
- 例 1.5.11（作图）
一.极限与最值的概念
attention： 间断点，极值点必须在邻域下，双侧有定义，端点只有单侧定义
非断点的最值点，必为极值点！
间断点也有可能是极值点。
二.单调性与极值判别
必要条件
判断极值的充分条件
第一充分条件
第二充分条件（二阶导推出极值）
局部保号性经常会考
第三充分条件
例1.5.1
导函数无法直接与函数比大小（利用拉格朗日将函数转换为导函数）
拉格朗日联系函数和导函数
例1.5.3（极值反推条件）
例1.5.4
三.凹凸性与拐点的概念
考研大纲为避免争议统一凹凸曲线
极值点和拐点题有如下特点：
1.凹凸点的定义
2. 拐点
拐点连续即可 拐点是坐标（点）不是x=？
四. 凹凸性与拐点的判别
1.判别凹凸性
拐点的必要条件（二阶可导存在）
判别拐点的第一充分条件
判别拐点的第二充分条件（三阶可导不等0且二导为0）
证明：
第三充分条件（高阶导）
例1.5.5
七. 函数作图的一般过程
1.定义域 奇偶性
2.一阶，二阶导=0或不存在的点，凹凸性划分区域
3.渐进线
例1.5.6
五.渐进线
1.铅锤渐进线
排除端点位置，铅锤渐进线一般就在无穷间断点的位置
2. 水平渐进线
3.斜渐近线
例1.5.7
例1.5.8
六.最值或取值范围（全局）
例1.5.10
例 1.5.11（作图）
要点： 1.看奇偶性
2.看定义域
3.求一阶二阶导 找驻点和拐点并求出其值，研究单调性和凹凸性
4.找铅锤水平渐进线
5.除x找斜渐进线
6.画出图像
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