同胚映射：

设E⊂RnE\subset \mathbb{R}^nE⊂Rn而f⃗(x⃗)=(f1(x⃗),f2(x⃗),…,fm(x⃗))\vec{f}(\vec{x})=(f_1(\vec{x}),f_2(\vec{x}),\dots,f_m(\vec{x}))f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))是一个定义于EEE的向量函数。
作为映射，若y⃗=f⃗(x⃗)：E⟼f⃗(E)\vec{y}=\vec{f}(\vec{x})：E\longmapsto \vec{f}(E)y=f(x)：E⟼f(E)是一一对应的，则其存在逆映射x⃗=f⃗−1(y⃗)：f⃗(E)⟼E\vec{x}=\vec{f}^{-1}(\vec{y})：\vec{f}(E)\longmapsto Ex=f−1(y)：f(E)⟼E。
若y⃗=f⃗(x⃗)\vec{y}=\vec{f}(\vec{x})y=f(x)在EEE上连续且x⃗=f⃗−1(y⃗)\vec{x}=\vec{f}^{-1}(\vec{y})x=f−1(y)在f⃗(E)\vec{f}(E)f(E)上也连续，则称y⃗=f⃗(x⃗)\vec{y}=\vec{f}(\vec{x})y=f(x)是E⟼f⃗(E)E\longmapsto \vec{f}(E)E⟼f(E)的同胚映射。

逆映射存在定理：

设y⃗=(y1,y2,…,yn)=(f1(x⃗),f2(x⃗),…,fn(x⃗))=f⃗(x⃗)\vec{y}=(y_1,y_2,\dots,y_n)=(f_1(\vec{x}),f_2(\vec{x}),\dots,f_n(\vec{x}))=\vec{f}(\vec{x})y=(y1,y2,…,yn)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))=f(x)是区域D⊂RnD\subset \mathbb{R}^nD⊂Rn到区域Ω⊂Rn\Omega\subset \mathbb{R}^nΩ⊂Rn的一个C1C^1C1映射，并且在x⃗0∈D\vec{x}_0\in Dx0∈D处有：∂(f1,f2,…,fn)∂(x1,x2,…,xn)≠0\frac{\partial (f_1,f_2,\dots,f_n)}{\partial (x_1,x_2,\dots,x_n)}\ne0∂(x1,x2,…,xn)∂(f1,f2,…,fn)=0则存在x⃗0\vec{x}_0x0的邻域U(x⃗0,δ)⊂DU(\vec{x}_0,\delta)\subset DU(x0,δ)⊂D使得映射y⃗=f⃗(x⃗)\vec{y}=\vec{f}(\vec{x})y=f(x)是U(x⃗0,δ)U(\vec{x}_0,\delta)U(x0,δ)到f⃗(U(x⃗0,δ))\vec{f}(U(\vec{x}_0,\delta))f(U(x0,δ))的C1C^1C1同胚映射。

证明：
由于{y1=f1(x⃗)y2=f2(x⃗)…yn=fn(x⃗)⟺{F1(x⃗,y⃗)=y1−f1(x⃗)F1(x⃗,y⃗)=y2−f2(x⃗)…F1(x⃗,y⃗)=yn−fn(x⃗)\begin{cases} y_1=f_1(\vec{x})\\ y_2=f_2(\vec{x})\\ \dots\\ y_n=f_n(\vec{x})\\ \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} F_1(\vec{x},\vec{y})=y_1-f_1(\vec{x})\\ F_1(\vec{x},\vec{y})=y_2-f_2(\vec{x})\\ \dots\\ F_1(\vec{x},\vec{y})=y_n-f_n(\vec{x})\\ \end{cases}⎩⎨⎧y1=f1(x)y2=f2(x)…yn=fn(x)⟺⎩⎨⎧F1(x,y)=y1−f1(x)F1(x,y)=y2−f2(x)…F1(x,y)=yn−fn(x)且∂(F1,F2,…,Fn)∂(x1,x2,…,xn)=(−1)n∂(f1,f2,…,fn)∂(x1,x2,…,xn)≠0\frac{\partial (F_1,F_2,\dots,F_n)}{\partial (x_1,x_2,\dots,x_n)}=(-1)^n\frac{\partial (f_1,f_2,\dots,f_n)}{\partial (x_1,x_2,\dots,x_n)}\ne0∂(x1,x2,…,xn)∂(F1,F2,…,Fn)=(−1)n∂(x1,x2,…,xn)∂(f1,f2,…,fn)=0由隐函数存在定理：在y0的邻域U(y0,δ0)中唯一存在C1的向量函数x⃗=(x1(y⃗),x2(y⃗),…,xn(y⃗))在y_0的邻域U(y_0,\delta_0)中唯一存在C^1的向量函数\vec{x}=(x_1(\vec{y}),x_2(\vec{y}),\dots,x_n(\vec{y}))在y0的邻域U(y0,δ0)中唯一存在C1的向量函数x=(x1(y),x2(y),…,xn(y))

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