（6/300）一阶线性非齐次常微分方程的通解

2024-07-02 07:13:49

一阶线性非齐次常微分方程的通解

首先应该认识方程的形式：

dy/dx+P(x)y=Q(x)

然后就来思考怎么去解这个方程了

我们最终希望是得到一个y=f（x）的形式，怎么解呢？先通过线性代数的知识进行引入：
求AX=b的通解；那么我们先求得Aη。=0，再求得一个AX=b的特解η*，那么两个相加就得到A（η₀+η*）=b，那么当η。取到全部解时，X=η₀+η* 就是AX=b的全部解了，那么就求得AX=b的通解了。
同样的道理我们也希望求得一个y。使得，dy₀/dx+P（x）y₀=0，然后再求得一个特解y* ，那么y = y₀+y* 就是我们要的通解了。

先试着解一下：

然后我们就想着怎么把这个特解求出来，那么我们不妨这样想：
令y₀=CY，那么 d C Y d x + P ( x ) C Y = 0 \frac{dCY}{dx}+P(x)CY=0 dxdCY+P(x)CY=0，要想让右边等于Q（x），那么我们只有让左边也出现一个关于x的一次函数，我们就想到了将常数C变成关于x的函数C（x），这就是所谓的常数变易法，
那么继续求解：

最后得到的就是一节线性非齐次常微分方程的通解了。
总结一下，求这个方程的解的话，最复杂的地方不过就是对于常数变易的那里的理解了，其他地方都是很简单。结合线性代数的知识呢，其实也是很好理解的，无非就是求一个非齐次方程的通解嘛，求出导出组的通解再加上一个特解就好了，只是说我们这里，为什么偏偏就是把C变成C（x），这就是因为从那个方程的形式观察到的。
####强行解释一波，如有谬误欢迎指出，我也感觉这样的解释有点牵强，哈哈哈。昨天晚上身体有点不舒服，就没有更第六天的内容。这是第七天，今天晚上来补上伯努利方程。

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