数据结构学习笔记

1.基本概念
- 1.1 数据
2.数据结构
- 2.1逻辑结构
- - 2.1.1 集合结构
  - 2.1.2 线性结构
  - 2.1.3 树形结构
  - 2.1.4 图形结构
- 2.2物理结构（存储结构）
- - 2.2.1 顺序存储结构
  - 2.2.2 链式存储结构
3.数据类型
- 3.1抽象数据类型
4 算法
- 4.1算法的特性
- - 4.1.1 输入和输出
  - 4.1.2 有穷性
  - 4.1.3 确定性
  - 4.1.4 可行性
- 4.2 算法的设计要求
- - 4.2.1 正确性
  - 4.2.2 可读性
  - 4.2.3 健壮性
  - 4.2.4 时间效率高和存储量低
- 4.3 算法效率的度量方法
- - 4.3.1 事后统计方法
  - 4.3.2 事前分析估算方法
- 4.4 算法时间复杂度
- - 4.4.1 算法时间复杂度定义
  - 4.4.2 推导大O阶方法
- 4.5 算法空间复杂度
5.线性表
- 5.1 线性表的抽象数据类型定义
- 5.2 线性表的顺序存储结构
- - 5.2.1 顺序存储定义
  - 5.2.2 顺序存储方式
  - 5.2.3 数据长度与线性表长度区别
  - 5.2.4 地址计算方法
- 5.3 顺序存储结构的插入与删除
- - 5.3.1 插入操作
  - 5.3.2 删除操作
  - 5.3.3 线性表顺序存储结构的优缺点
- 5.4 线性表的链式存储结构
- - 5.4.1 头指针与头结点

1.基本概念

1.1 数据

数据：是描述客观事物的符号，是计算机中可以操作的对象，是能被计算机识别，并输入给计算机处理的符号集合。

数据元素：是组成数据的、有一定意义的基本单位，在计算机中通常作为整体处理。也被称为记录。例如家禽类数据元素牛、羊、猪等等。

数据项：一个数据元素可以有若干个数据项组成。例如人的数据元素可有眼、耳、鼻子等。数据项是数据不可分割的最小单位。

数据对象：是性质相同的数据元素的集合，是数据的子集。

数据结构：是相互之间存在一种或多种特点关系的数据元素的集合

2.数据结构

2.1逻辑结构

逻辑结构：是指数据对象中数据元素之间的相互关系。分为集合结构、线性结构、树形结构、图形结构。

2.1.1 集合结构

集合结构：集合结构中的数据元素除了同属一个集合外，他们之间没有其它关系。

2.1.2 线性结构

线性结构：线性结构中的数据元素之间是一对一的关系。

2.1.3 树形结构

树形结构：树形结构中的数据元素之间存在一种一对多的层次关系。

2.1.4 图形结构

图形结构：图形结构的数据元素是多对多的关系。

2.2物理结构（存储结构）

物理结构：是指数据的逻辑结构在计算机中的存储形式。分为顺序存储和链式存储。

2.2.1 顺序存储结构

顺序存储结构：是把数据元素存放在地址连续的存储单元里，其数据间的逻辑关系和物理关系是一致的。（数组）

2.2.2 链式存储结构

链式存储结构：是把数据元素存放在任意的存储单元里，这组存储单元可以是连续的，也可以是不连续的。可以利用指针存放数据元素地址。

3.数据类型

数据类型：是指一组性质相同的值的集合及定义在此集合上的一些操作的总称。可以分为两类：原子类型和结构类型。
原子类型：是不可以再分解的基本类型，包括整形、实型、字符型等。
结构类型：由若干个类型组合而成，是可以再分解的。例如，整型数组是由若干整型数据组成的。

3.1抽象数据类型

抽象数据类型：是指一个数学模型及定义在该模型上的一组操作。

4 算法

4.1算法的特性

基本特性：输入、输出、有穷性、确定性和可行性。

4.1.1 输入和输出

输入：算法具有零个或多个输入。
输出：算法至少有一个或多个输出。

4.1.2 有穷性

有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每个步骤在可接受的时间内完成。

4.1.3 确定性

确定性：算法的每一步骤都是具有确定的含义，不会出现二义性。

4.1.4 可行性

可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。

4.2 算法的设计要求

4.2.1 正确性

正确性：算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。

算法程序没有语法错误。
算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果。
算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果。
算法成语对于精心选择的，甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果。

4.2.2 可读性

可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。

4.2.3 健壮性

健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。

4.2.4 时间效率高和存储量低

4.3 算法效率的度量方法

4.3.1 事后统计方法

事后统计方法（不推荐）：这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。

4.3.2 事前分析估算方法

事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。
算法消耗时间因素：

算法采用的策略、方法。
编译产生的代码质量。
问题的输入规模。
机器执行指令的速度。

4.4 算法时间复杂度

4.4.1 算法时间复杂度定义

定义：在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)= O(f(n))它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f（n）的增长率相同，乘作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

4.4.2 推导大O阶方法

用O[ ]来体现算法时间复杂度，例如O[1]叫常数阶、O[n]叫线性阶、O[n²]叫平方阶等。

推导大O阶：

用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
得到的结果就是大O阶。

常用的时间复杂度所耗费时间从小到大依次是：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(2ⁿ)<O(n!)<O(nⁿ)

4.5 算法空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S[n] = O[f[n]],其中，n为问题的规模，f[n]为语句关于n所占存储空间的函数。

5.线性表

线性表：零个或多个数据元素的有限序列。

5.1 线性表的抽象数据类型定义

线性表的抽象数据类型：线性表的数据对象集合为{a1,a2,……，an},每个元素的类型均为DataType。其中，除第一个元素a1外，每一个元素有且只有一个直接前驱元素（换言之就是前面没有数据了，它打头），除了最后一个元素an外，每一个元素有且只有一个直接后继元素。（换言之同上述后面没元素了它是队尾）。数据元素之间的关系是一对一的关系。
常用的基本操作方法（定义函数方法）：

InitList（*L）；初始化操作，建立一个空的线性表L。
ListEmpty（L）；若线性表为空，返回true，否则返回false。
ClearList（*L）；将线性表清空。
GetElem（L,i，*e）；将线性表L中的第i个位置元素值返回给e。
LocateElem（L，e）；在线性表L中查找与给定值e相等的元素，如果查找成功，返回该元素在表中序号表示成功；否则，返回0表示失败。
ListInsert（*L，i，e）；在线性表L中的第i个位置插入新元素e。
ListDelete（*L，i，*e）；删除线性表L中第i个位置元素，并用e返回其值。
ListLength（L）；返回线性表L的元素个数。

5.2 线性表的顺序存储结构

5.2.1 顺序存储定义

定义：线性表的顺序存储结构，指的是用一段地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素。

5.2.2 顺序存储方式

把相同数据类型的数据元素依次存放在一定的内存空间，可以用一维数组来实现顺序存储结构。

5.2.3 数据长度与线性表长度区别

数据长度是指存放线性表的存储空间的长度，存储分配后这个量一般是不变的
线性表长度是指线性表中数据元素的个数，随着线性表插入和删除操作的进行，这个量是变化的。
在任意时刻，线性表的长度应该小于等于数组的长度。

5.2.4 地址计算方法

存储器中的每个存储单元都有自己的编号，这个编号称为地址。
假设一个数据占用c个存储单元则第a(i+1)元素位置为LOC（ai+1）=LOC（ai）+c
对于第i个数据元素ai的存储位置可以由a1推算得出：LOC（ai）=LOC（a1）+(i-1）xc

5.3 顺序存储结构的插入与删除

5.3.1 插入操作

插入算法思路：

如果插入位置不合理，抛出异常；
如果线性表长度大于等于数组长度，则抛出异常或动态增加容量；
从最后一个元素开始向前遍历到第i个位置，分别将它们都向后移动一个位置；
将要插入元素填入位置i处；
表长加1；

5.3.2 删除操作

删除算法思路

如果删除位置不合理，抛出异常；
取出删除元素；
从删除元素位置开始遍历到最后一个元素位置，分别将它们都向前移动一个位置；
表长减一；

5.3.3 线性表顺序存储结构的优缺点

优点

无需为表示表中元素之间的逻辑关系而增加额外的存储空间

可以快速地存取表中任一位置的元素

缺点

插入和删除操作需要移动大量元素

当线性长度变化较大时，难以确定存储空间的容量

造成存储空间的碎片

5.4 线性表的链式存储结构

为了表示每个数据元素ai与其直接后继数据元素ai+1之间的逻辑关系，对数据元素ai来说，除了存储其本身的信息之外，还需存储一个指示其直接后继的信息（即直接后继的存储位置）。我们把存储数据元素信息的域称为数据域，把存储直接后继位置的域称为指针域。指针域中存储的信息称作指针或链。这两部分信息组成数据元素ai的存储映像昂，称为结点。 n个结点链接成一个链表，即为线性表（a1，a2，…，an）的链式存储结构，因为此链表的每个节点中只包含一个指针域，所以叫做单链表

5.4.1 头指针与头结点

头指针：链表中第一个结点的存储位置叫做头指针。
头结点：单链表的第一个结点前附设一个结点，称为头结点
二者异同

头指针

头指针是指链表指向第一个结点的指针，若链表有头结点，则是指向头结点的指针。

头指针具有标识作用，所以常用头指针冠以链表的名字。

无论链表是否为空，头指针均不为空。头指针是链表的必要元素。

头结点

头结点是为了操作的统一和方便而设立的，放在第一元素的结点之前，其数据域一般无意义（也可存放链表的长度）

有了头结点，对在第一元素结点前插入结点和删除第一结点，其操作与其它结点的操作就统一了。

头结点不一定是链表必须要素。

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