一 汉明码的编解码说明

(一)编码

Hamming(12,8)

N=12,表示编码后的比特长度

K=8,待编码数据的比特长度

R=N-K=4,校验位的比特长度

D=3 汉明距离:相邻行之间不同比特数据的最小值

(D-1)/2=1 纠错能力

表格1：

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单位矩阵(I)                                       生成校验位的矩阵(P)

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标号 　 11      10       9       8       7      6      5     4           3         2     1      0

编号     x^7     x^6    x^5   x^4   x^3   x^2   x^1   1           c3      c2    c1    c0

7　　    1        0       0       0       0      0       0     0           1        1      1      0

6            0        1       0       0       0      0       0     0           0        1      1      1

5            0        0       1       0       0      0       0     0           1        0      1      0

4            0        0       0       1       0      0       0     0           0        1      0      1

3            0        0       0       0       1      0       0     0           1        0      1      1

2            0        0       0       0       0      1       0     0           1        1      0      0

1            0        0       0       0       0      0       1     0           0        1      1      0

0            0        0       0       0       0      0       0     1           0        0      1      1

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G是生成矩阵见表格1

A[7:0]

CODE=G x A

CODE[11]=A[7]

CODE[10]=A[6]

...

CODE[4]=A[0]

CODE[3]=A[7]^A[5]^A[3]^A[2] (^为异或)

CODE[2]=A[7]^A[6]^A[4]^A[2]^A[1]

CODE[1]=A[7]^A[6]^A[5]^A[3]^A[1]^A[0]

CODE[0]=A[6]^A[4]^A[3]^A[0]

(二)解码

1.求校验矩阵H

H = {P^T,I(N-K)}(^T表示转置; I(N-K)=I(4)表示4x4单位矩阵)

H为4x11矩阵

表2：

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11 　　 10　　 9　　 8　　 7　　 6　　 5　　 4　　 3　　 2　　 1　　 0

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p7　　 p6　　 p5　p4　    p3　　p2　 p1　　 P0　  I3　   I2　　 I1　  I0

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3      1 　　   0　　   1 　 0　　 1　　   1　　 0　　 0　　 1　　 0　　 0　　 0

2      1 　　   1　　   0 　 1　　 0　　   1　　 1　　 0　　 0　　 1　　 0　　 0

1      1 　　   1　　   1 　 0 　　1　　   0 　　1　　 1　　 0　　 0　　 1　　 0

0      0 　　   1　　   0 　 1　　 1　　   0 　    0 　　1　　 0　　 0　　 0　　 1

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2.求校正子S

S = H^T * U (U为待解码的数据)

S[3] = U[11]^U[9]^U[7]^U[6]^U[3]

S[2] = U[11]^U[10]^U[8]^U[6]^U[5]^U[2]

S[1] = U[11]^U[10]^U[9]^U[7]^U[5]^U[4]^U[1]

S[0] = U[10]^U[8]^U[7]^U[4]^U[0]

3.根据假设错误模式定位错误比特

通过错误模式推导校正子Si，i是index指的是错误模式的种类，因为我们汉明码解码数据有12bit，

所以错误模式有12种，还包括一种全部正确的模式。

Si = H^T * Ei

表3：

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Ei　　　　　　　　　　　　 H^T　　    Si　    编号

----------------------------------------------------------------------------

12'b0000_0000_0000　　1110　　　　0000

12'b0000_0000_0001　　0111　　　　0001　　 0

12'b0000_0000_0010 　　1010　　　   0010　　 1

12'b0000_0000_0100　　0101　　　　 0100　　2

12'b0000_0000_1000　　1011　　　　1000　　3

12'b0000_0001_0000　　1100　　　　0011　　4

12'b0000_0010_0000　　 0110　　　　0110　　5

12'b0000_0100_0000　　 0011　　　　1100　　6

12'b0000_1000_0000　　 1000　　　　1011　　7

12'b0001_0000_0000　　 0100　　　　 0101　　8

12'b0010_0000_0000　　 0010　　　　1010　　9

12'b0100_0000_0000　　 0001　　　　0111　　10

12'b1000_0000_0000　　　　　　　　   1110　　  11

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4.优化数据修正方法

C[11] = U[11]^(S[3]&S[2]&S[1]&(~S[0]))

C[10] = U[10]^(~S[3]&S[2]&S[1]&S[0])

C[9] = U[9]^(S[3]&(~S[2])&S[1]&(~S[0]))

C[8] = U[8]^(S[3]&(~S[2])&S[1]&S[0])

C[7] = U[7]^(S[3]&(~S[2])&S[1]&S[0])

C[6] = U[6]^(S[3]&S[2]&(~S[1])&(~S[0]))

C[5] = U[5]^((~S[3])&S[2]&S[1]&(~S[0]))

C[4] = U[4]^((~S[3])&(~S[2])&S[1]&S[0])

C[3] = U[3]^(S[3]&(~S[2])&(~S[1])&(~S[0]))

C[2] = U[2]^((~S[3])&S[2]&(~S[1])&(~S[0]))

C[1] = U[1]^((~S[3])&(~S[2])&S[1]&(~S[0]))

C[0] = U[0]^((~S[3])&(~S[2])&(~S[1])&S[0])

例如：

待编码数据：8'b0011_0101

编码后数据：CODE[11:4] = 0011_0101

CODE[3:0] = 0000

CODE[11:0] = 12'b0011_0101_0000

经过信道，假设接收到的数据：

U[11:0] = 12'b0011_0101_0001

校正子：

S[3] = 0

S[2] = 0

S[1] = 0

S[0] = 1

S[3:0] = 4'b0001

根据表3，可知是在接收数据的最低位发生错误