[初识行列式]行列式的计算

前一章整理了行列式的基本定义,接下来我们可以进行列式的计算.

文章目录

1. 消零化基本型
2. 爪形和异爪形行列式
3. 拉普拉斯展开式
4. 范德蒙行列式
5. 数学归纳法和递推法

1. 消零化基本型

适用条件:
- 某行(列)已有足够多的0元素
- 阶数不高

例题1. 求n阶行列式∣ab0...000ab...0000a...00....................000....abb00....0a∣n∗n=?\begin{vmatrix} a & b &0 &...&0&0 \\ 0 & a &b&...&0&0\\ 0&0&a&...&0&0\\ ...&....&....&...&...&...\\ 0&0&0&....&a&b\\ b&0&0&....&0&a \end{vmatrix}_{n*n}=?∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a00...0bba0....000ba....00....................000...a0000...ba∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n∗n=?
解:按照第一列展开,有:
Dn=∣ab0...000ab...0000a...00....................000....abb00....0a∣=a∣ab...000a...00.................00....ab00....0a∣+(−1)n+1b∣b0...00ab...00.................00....b000....ab∣=an+(−1)n+1bnD_n=\begin{vmatrix} a & b &0 &...&0&0 \\ 0 & a &b&...&0&0\\ 0&0&a&...&0&0\\ ...&....&....&...&...&...\\ 0&0&0&....&a&b\\ b&0&0&....&0&a \end{vmatrix}=a\begin{vmatrix} a &b&...&0&0\\ 0&a&...&0&0\\ ....&....&...&...&...\\ 0&0&....&a&b\\ 0&0&....&0&a \end{vmatrix}\\+(-1)^{n+1}b\begin{vmatrix} b &0&...&0&0\\ a&b&...&0&0\\ ....&....&...&...&...\\ 0&0&....&b&0\\ 0&0&....&a&b \end{vmatrix}\\=a^n+(-1)^{n+1}b^nDn=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a00...0bba0....000ba....00....................000...a0000...ba∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=a∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a0....00ba....00.................00...a000...ba∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+(−1)n+1b∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ba....000b....00.................00...ba00...0b∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=an+(−1)n+1bn

2. 爪形和异爪形行列式

爪形行列式:
- 斜爪消平爪
异爪形行列式
- n<=4时,直接展开
- n>=4时,用递推法

例题2.异爪形行列式:求∣λ−1000λ−1000λ−1432λ+1∣=?\begin{vmatrix} \lambda&-1&0&0\\ 0&\lambda&-1&0\\ 0&0&\lambda&-1\\ 4&3&2&\lambda+1 \end{vmatrix}=?∣∣∣∣∣∣∣∣λ004−1λ030−1λ200−1λ+1∣∣∣∣∣∣∣∣=?
解:直接按照第四行展开有:
Dn=∣λ−1000λ−1000λ−1432λ+1∣=4∗(−1)1+4∗∣−100λ−100λ−1∣+3∗(−1)2+4∣λ000−100λ−1∣+2∗(−1)3+4∣λ−100λ000−1∣+(λ+1)(−1)4+4∣λ−100λ−100λ∣=4+3λ+2λ2+λ3+λ4D_n=\begin{vmatrix} \lambda&-1&0&0\\ 0&\lambda&-1&0\\ 0&0&\lambda&-1\\ 4&3&2&\lambda+1 \end{vmatrix}=4*(-1)^{1+4}*\begin{vmatrix} -1&0&0\\ \lambda&-1&0\\ 0&\lambda&-1\\ \end{vmatrix}+3*(-1)^{2+4}\begin{vmatrix} \lambda&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&\lambda&-1\\ \end{vmatrix}\\+2*(-1)^{3+4}\begin{vmatrix} \lambda&-1&0\\ 0&\lambda&0\\ 0&0&-1\\ \end{vmatrix}+(\lambda+1)(-1)^{4+4}\begin{vmatrix} \lambda&-1&0\\ 0&\lambda&-1\\ 0&0&\lambda\\ \end{vmatrix}\\=4+3\lambda+2\lambda^2+\lambda^3+\lambda^4Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣λ004−1λ030−1λ200−1λ+1∣∣∣∣∣∣∣∣=4∗(−1)1+4∗∣∣∣∣∣∣−1λ00−1λ00−1∣∣∣∣∣∣+3∗(−1)2+4∣∣∣∣∣∣λ000−1λ00−1∣∣∣∣∣∣+2∗(−1)3+4∣∣∣∣∣∣λ00−1λ000−1∣∣∣∣∣∣+(λ+1)(−1)4+4∣∣∣∣∣∣λ00−1λ00−1λ∣∣∣∣∣∣=4+3λ+2λ2+λ3+λ4
例题3.爪形行列式:计算行列式∣1111120010301004∣=?\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&2&0&0\\ 1&0&3&0\\ 1&0&0&4\\ \end{vmatrix}=?∣∣∣∣∣∣∣∣1111120010301004∣∣∣∣∣∣∣∣=?
解:用斜爪消平爪:Dn=∣1111120010301004∣=2∗3∗4∣1−12−13−14000121001301014001∣=−2D_n=\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&2&0&0\\ 1&0&3&0\\ 1&0&0&4\\ \end{vmatrix}=2*3*4\begin{vmatrix} 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}&0&0&0\\ \frac{1}{2}&1&0&0\\ \frac{1}{3}&0&1&0\\ \frac{1}{4}&0&0&1\\ \end{vmatrix}=-2Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣1111120010301004∣∣∣∣∣∣∣∣=2∗3∗4∣∣∣∣∣∣∣∣1−21−31−41213141010000100001∣∣∣∣∣∣∣∣=−2

3. 拉普拉斯展开式

直接用定理:
设A为m阶矩阵,B为n阶矩阵,有以下定理:
∣AOOB∣=∣ACOB∣=∣AOCB∣=∣A∣∣B∣\begin{vmatrix} A&O\\ O&B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A&C\\ O&B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A&O\\ C&B \end{vmatrix}=|A||B|∣∣∣∣AOOB∣∣∣∣=∣∣∣∣AOCB∣∣∣∣=∣∣∣∣ACOB∣∣∣∣=∣A∣∣B∣
∣OABO∣=∣CABO∣=∣OABC∣=(−1)mn∣A∣∣B∣\begin{vmatrix} O&A\\ B&O \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} C&A\\ B&O \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} O&A\\ B&C \end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A||B|∣∣∣∣OBAO∣∣∣∣=∣∣∣∣CBAO∣∣∣∣=∣∣∣∣OBAC∣∣∣∣=(−1)mn∣A∣∣B∣

例题4:计算行列式∣a100b10a2b200b3a30b400a4∣\begin{vmatrix} a_1&0&0&b_1\\ 0&a_2&b_2&0\\ 0&b_3&a_3&0\\ b_4&0&0&a_4 \end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣a100b40a2b300b2a30b100a4∣∣∣∣∣∣∣∣
解:先将第二行和第四行互换,再将第二列和第四列互换,互换两次符号不变Dn=∣a100b10a2b200b3a30b400a4∣=∣a1b100b4a40000a3b300b2a2∣=(a1a4−b1b4)(a3a2−b2b3)D_n=\begin{vmatrix} a_1&0&0&b_1\\ 0&a_2&b_2&0\\ 0&b_3&a_3&0\\ b_4&0&0&a_4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_1&b_1&0&0\\ b_4&a_4&0&0\\ 0&0&a_3&b_3\\ 0&0&b_2&a_2\\ \end{vmatrix}=(a_1a_4-b_1b_4)(a_3a_2-b_2b_3)Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣a100b40a2b300b2a30b100a4∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣a1b400b1a40000a3b200b3a2∣∣∣∣∣∣∣∣=(a1a4−b1b4)(a3a2−b2b3)

4. 范德蒙行列式

直接用公式计算
∣11....1x1x2...xnx12x22.....xn2..............x1n−1x2n−1......xnn−1∣=∏1≤i<j≤n(xj−xi)\begin{vmatrix} 1&1&....&1\\ x_1&x_2&...&x_n\\ x_1^2&x_2^2&.....&x_n^2\\ ...&....&...&....\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&......&x_n^{n-1} \end{vmatrix}=\prod_{1\leq i<j\leq n} (x_j-x_i)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x12...x1n−11x2x22....x2n−1.....................1xnxn2....xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=1≤i<j≤n∏(xj−xi)

理解:∏1≤i<j≤n(xj−xi)\prod_{1\leq i<j\leq n} (x_j-x_i)∏1≤i<j≤n(xj−xi):高年级欺负低年级,并且所有的高年级都要欺负到所有的低年级

例题5:计算行列式:∣abca2b2c2b+ca+ca+b∣\begin{vmatrix} a&b&c\\ a^2&b^2&c^2\\ b+c&a+c&a+b \end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣aa2b+cbb2a+ccc2a+b∣∣∣∣∣∣
解:第一眼看题目应该会想到范德蒙行列式,但是没有全为1的一行,所以我们需要自己构造,将第一行加到第三行上去,并提出公因子(a+b+c)即能得到想要的结果:
Dn=∣abca2b2c2b+ca+ca+b∣=(a+b+c)∣abca2b2c2111∣=(−1)(−1)(a+b+c)∣111abca2b2c2∣=(a+b+c)(c−b)(c−a)(b−a)D_n=\begin{vmatrix} a&b&c\\ a^2&b^2&c^2\\ b+c&a+c&a+b \end{vmatrix}=(a+b+c)\begin{vmatrix} a&b&c\\ a^2&b^2&c^2\\ 1&1&1 \end{vmatrix}\\=(-1)(-1)(a+b+c)\begin{vmatrix} 1&1&1\\ a&b&c\\ a^2&b^2&c^2\\ \end{vmatrix}=(a+b+c)(c-b)(c-a)(b-a)Dn=∣∣∣∣∣∣aa2b+cbb2a+ccc2a+b∣∣∣∣∣∣=(a+b+c)∣∣∣∣∣∣aa21bb21cc21∣∣∣∣∣∣=(−1)(−1)(a+b+c)∣∣∣∣∣∣1aa21bb21cc2∣∣∣∣∣∣=(a+b+c)(c−b)(c−a)(b−a)

5. 数学归纳法和递推法

当涉及n阶行列式时候,可以考虑用数学归纳法

例题6:计算∣2−10...00−12−1...000−12...00.....................000...2−1000.....−12∣\begin{vmatrix} 2&-1&0&...&0&0\\ -1&2&-1&...&0&0\\ 0&-1&2&...&0&0\\ ...&...&...&....&....&....\\ 0&0&0&...&2&-1\\ 0&0&0&.....&-1&2 \end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2−10...00−12−1...000−12...00.....................000....2−1000....−12∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
解:将Dn中的第2,3…n列加到第1列上去,并按照第1列展开:
Dn=∣1−10...0002−1...000−12...00.....................000...2−1100.....−12∣=Dn−1+1(−1)n+1∣−10...00−2−1...00−12...00..................00...−1000...2−1∣=Dn−1+(−1)n+1(−1)n−1=Dn−1+1D_n=\begin{vmatrix} 1&-1&0&...&0&0\\ 0&2&-1&...&0&0\\ 0&-1&2&...&0&0\\ ...&...&...&....&....&....\\ 0&0&0&...&2&-1\\ 1&0&0&.....&-1&2 \end{vmatrix}=D_{n-1}+1(-1)^{n+1}\begin{vmatrix} -1&0&...&0&0\\ -2&-1&...&0&0\\ -1&2&...&0&0\\ ...&...&....&....&....\\ 0&0&...&-1&0\\ 0&0&...&2&-1\\ \end{vmatrix}\\=D_{n-1}+(-1)^{n+1}(-1)^{n-1}\\=D_{n-1}+1Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣100...01−12−1...000−12...00.....................000....2−1000....−12∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=Dn−1+1(−1)n+1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−1−2−1...000−12...00...................000....−12000....0−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=Dn−1+(−1)n+1(−1)n−1=Dn−1+1
根据递推关系式有Dn=D1+(n−1)=2+n−1=n+1D_n=D_1+(n-1)=2+n-1=n+1Dn=D1+(n−1)=2+n−1=n+1
例题7,计算行列式:∣a1−10.....00a2x−1...00a30x.....00.........................an−100......x−1an00.......0x∣\begin{vmatrix} a_1&-1&0&.....&0&0\\ a_2&x&-1&...&0&0\\ a_3&0&x&.....&0&0\\ ...&....&...&......&.....&....\\ a_{n-1}&0&0&......&x&-1\\ a_n&0&0&.......&0&x \end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1a2a3...an−1an−1x0....000−1x...00................................000.....x0000....−1x∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
解:此题需要注意只能从最后一行展开,否则无法找出递推公式:
Dn=(−1)n+1an∣−10.....00x−1...000x.....00......................00......x−1∣+x(−1)n+nDn−1=an+xDn−1D_n=(-1)^{n+1}a_n\begin{vmatrix} -1&0&.....&0&0\\ x&-1&...&0&0\\ 0&x&.....&0&0\\ ....&...&......&.....&....\\ 0&0&......&x&-1\\ \end{vmatrix}+x(-1)^{n+n}D_{n-1}\\=a_n+xD_{n-1}Dn=(−1)n+1an∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−1x0....00−1x...0.........................000.....x000....−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+x(−1)n+nDn−1=an+xDn−1
由递推公式可得Dn=an+an−1x+an−2x2+.......+a2xn−2+a1xn−1D_n=a_n+a_{n-1}x+a_{n-2}x^2+.......+a_2x^{n-2}+a_1x^{n-1}Dn=an+an−1x+an−2x2+.......+a2xn−2+a1xn−1

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