动态规划法

题目描述：给定n个矩阵{A1,A2....An}，其中Ai与Ai+1是可以相乘的，判断这n个矩阵通过加括号的方式相乘，使得相乘的次数最少!

以矩阵链ABCD为例

按照矩阵链长度递增计算最优值

矩阵链长度为1时，分别计算出矩阵链A、B、C、D的最优值

矩阵链长度为2时，分别计算出矩阵链AB、BC、CD的最优值

矩阵链长度为3时，分别计算出矩阵链ABC、BCD的最优值

矩阵链长度为4时，计算出矩阵链ABCD的最优值

动归方程：

分析:

k为矩阵链断开的位置

d数组存放矩阵链计算的最优值，d[i][j]是以第i个矩阵为首，第j个矩阵为尾的矩阵链的最优值，i > 0

m数组内存放矩阵链的行列信息，m[i-1]和m[i]分别为第i个矩阵的行和列(i = 1、2、3...)

c语言实现代码：

#include

#define N 20

void MatrixChain(int p[N],int n,int m[N][N],int s[N][N]){

int i,j,t,k;

int r; //记录相乘的矩阵个数变量

for(i=1;i<=n;i++){

m[i][i]=0; //当一个矩阵相乘时，相乘次数为 0

}

//矩阵个数从两个开始一次递增

for(r=2;r<=n;r++){

//从某个矩阵开始

for(i=1;i<=n-r+1;i++){

//到某个矩阵的结束

j=i+r-1;

//拿到从 i 到 j 矩阵连乘的次数

m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];

//拿到矩阵连乘断开的位置

s[i][j]=i;

//寻找加括号不同，矩阵连乘次数的最小值，修改 m 数组，和断开的位置 s 数组

for(k=i+1;k

t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];

if(t

m[i][j]=t;

s[i][j]=k;

}

}

}

}

}

int main(void){

int n,n1,m1,i,j=2;

int p[N]={0}; //存储矩阵的行和列数组

int m[N][N]={0}; //存储矩阵与矩阵相乘的最小次数

int s[N][N]={0}; //存储矩阵与矩阵相乘断开的位置

printf("请输入矩阵个数:\n");

scanf("%d",&n);

for(i=1;i<=n;i++){

printf("请输入第%d个矩阵的行和列(n1*m1 格式):",i);

scanf("%d*%d",&n1,&m1);

if(i==1){

p[0]=n1;

p[1]=m1;

}

else{

p[j++]=m1;

}

}

printf("\n记录矩阵行和列:\n");

for(i=0;i<=n;i++){

printf("%d ",p[i]);

}

printf("\n");

MatrixChain(p,n,m,s);

printf("\n矩阵相乘的最小次数矩阵为:\n");

for(i=1;i<=n;i++){

for(j=1;j<=n;j++){

printf("%d ",m[i][j]);

}

printf("\n");

}

printf("\n矩阵相乘断开的位置矩阵为:\n");

for(i=1;i<=n;i++){

for(j=1;j<=n;j++){

printf("%d ",s[i][j]);

}

printf("\n");

}

printf("矩阵最小相乘次数为:%d\n",m[1][n]);

return 0;

}

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