[bzoj1925][DP]地精部落

Description

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分为从左到右的 N
段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正整数。如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边
缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。
地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。
地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。地精们希望这N
段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足这个条件的整座山脉才可能有地精居住。现在你希望知道，长度为N
的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它
除以P的余数感兴趣。

Input

仅含一行，两个正整数 N, P。

Output

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余之后的结果。

Sample Input

4 7

Sample Output

3

HINT

对于 20%的数据，满足 N≤10；对于 40%的数据，满足 N≤18；对于 70%的数据，满足 N≤550；对于
100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤109

题解

我不由得再次吐槽这个~~巨长的题面~~
题意就是让你求一个n的排列且这个排列满足是抖动序列的个数%p的值
其实我一开始想的dp方程是f[i][j]表示1~i，末位为j且为山峰的方案数，但是我发现这个真的没法转移。。于是乎%一发题解啊啊啊啊
设f[i][j]为1~i，首位取值范围1~j且是山峰的方案数
先解释一个性质，f[i][i-j+1]即为是山谷的方案数。为啥？你把原数列所有值取个反(i-j+1)，那么不就是一个山谷的方案数嘛
看方程
f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][i-j]
前半部分很好理解啊。。首位取值1~j-1的范围已经算出来了那不就直接加上来嘛
关键后半部分，其实就是要求首位取值j，满足是山峰的个数
那其实就是要求一个取值范围j-1，数字个数i-1，且为山谷的方案数
那么我们上面证明的这个性质就出来了啊，f[i][i-j+1]即为是山谷的方案数
把i换成i-1,不就成了f[i-1][i-j]。。
记得滚动，输出的时候要*2因为只求了开头是山峰的个数

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int f[2][4205];//首位取值1~j 满足一定为山峰
int n,mod;
int main()
{scanf("%d%d",&n,&mod);if(n==1){printf("1\n");return 0;}f[1][1]=1;int st=1;for(int i=2;i<=n;i++){st^=1;for(int j=1;j<=i;j++)f[st][j]=(f[st][j-1]+f[st^1][i-j])%mod;}printf("%d\n",f[st][n]*2%mod);return 0;
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