一、信号采样与保持
- 1.1 采样
- 1.2 采样的数学描述
- 1.3 香农采样定理
- 1.4 采样保持器
- 1.5 零阶保持器
二、离散系统数学模型
- 2.1 离散系统的概念
- 2.2 关于差分方程
- 2.3 脉冲传递函数
- 2.4 离散系统时域响应
三、离散系统的稳定性
- 3.1 劳斯判据
- 3.2 朱利判据
四、离散系统的稳态误差
- 4.1 稳态误差计算与描述
- 4.2 离散系统误差直观体会
五、更多内容参考

一、信号采样与保持

1.1 采样

1、采样过程
把连续信号转变为离散脉冲序列的过程称之为采样过程

2、采样开关
实现采样过程的装置叫做采样开关，采样器以 T T T 为周期采样就形成了周期采样信号。

3、近似
设 e ( t ) e(t) e(t) 是连续的误差信号，经过理想采样开关后，得到脉冲序列 { e ′ ( t ) } \{e^\prime(t)\} {e′(t)}，记作： e ∗ ( t ) e^*(t) e∗(t) 。采样开关的采样周期为 T T T，则采样频率 f = 1 / T f=1/T f=1/T。而采样开关开断过程中，每次闭合也是有一个极短时间的，记作 τ \tau τ，且 τ ≪ T \tau\ll T τ≪T，也远小于时间常数，所以可以近似看做 τ ≈ 0 \tau\approx0 τ≈0：

4、采样的特点
（1）在连续系统中一处或几处设置采样开关对被控对象控制；
（2）采样周期远远小于被控对象时间常数；
（3）采样开关闭合的时间远远小于断开的时间；
（4）采样周期一般不变；

5、采样频率对采样效果的影响
采样频率越高，采样精度越高。这是很容易理解的，如果采样频率无穷大，可以认为得到的信号就是近似连续的。

1.2 采样的数学描述

设采样前，原始信号为 e ( t ) e(t) e(t)，则采样后的信号可表示为：
e ∗ ( t ) = { e ( t ) , n T ≤ t ≤ n T + τ 0 , n T + τ ≤ t ≤ ( n + 1 ) T e^*(t)=\left\{ \begin{array}{c} e(t) , \space\space nT \leq t\leq nT+\tau \\\\ 0 , \space\space nT+\tau \leq t \leq (n+1)T \\ \end{array} \right. e∗(t)=⎩ ⎨ ⎧e(t), nT≤t≤nT+τ0, nT+τ≤t≤(n+1)T
理想采样脉冲序列为 δ T ( t ) = Σ δ ( t − n T ) \delta_T(t)=\Sigma\delta(t-nT) δT(t)=Σδ(t−nT)，则采样后： e ∗ ( t ) = e ( t ) Σ δ ( t − n T ) e^*(t)=e(t)\Sigma\delta(t-nT) e∗(t)=e(t)Σδ(t−nT)

其中， e ∗ ( t ) e^*(t) e∗(t) 只有在 n T ≤ t ≤ n T + τ nT\leq t\leq nT+\tau nT≤t≤nT+τ 时才表现不为0，所以： lim ⁡ τ → 0 e ∗ ( t ) = e ( n T ) \lim_{\tau\to0}e^*(t)=e(nT) τ→0lime∗(t)=e(nT)所以有： e ∗ ( t ) = e ( n T ) Σ δ ( t − n T ) e^*(t)=e(nT)\Sigma\delta(t-nT) e∗(t)=e(nT)Σδ(t−nT)

1.3 香农采样定理

1、香农采样定理（Shannon Sample Theory，SST）
设输入采样器的有限带宽信号 e ( t ) e(t) e(t) 的最大频率为 ω \omega ω，则只要采样频率 ω s > 2 ω \omega_s>2\omega ωs>2ω，信号就可以从离散采样信号中恢复过来。

2、需要注意的是，香农采样定理给出的是 “能够恢复过来” 的采样频率下限（或采样周期上限），但实际工程中，采样频率往往要更高。

3、【百度百科】如果不能满足上述采样条件，采样后信号的频率就会重叠，即高于采样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号。这种频谱的重叠导致的失真称为混叠，而重建出来的信号称为原信号的混叠替身，因为这两个信号有同样的样本值。
一个频率正好是采样频率一半的弦波信号，通常会混叠成另一相同频率的波弦信号，但它的相位和幅度改变了。以下两种措施可避免混叠的发生：
(1). 提高采样频率，使之达到最高信号频率的两倍以上；
(2). 引入低通滤波器或提高低通滤波器的参数；该低通滤波器通常称为抗混叠滤波器
抗混叠滤波器可限制信号的带宽，使之满足采样定理的条件。从理论上来说，这是可行的，但是在实际情况中是不可能做到的。因为滤波器不可能完全滤除奈奎斯特频率之上的信号，所以，采样定理要求的带宽之外总有一些“小的”能量。不过抗混叠滤波器可使这些能量足够小，以至可忽略不计。

1.4 采样保持器

1、复现
将脉冲序列信号再次转化为连续信号的过程。

2、采样保持器
将脉冲序列信号转化为连续信号的装置。

3、数学描述
在采样时刻， e ∗ ( t ) = e ( n T ) e^*(t)=e(nT) e∗(t)=e(nT)，在 n T nT nT 处对 e ( t ) e(t) e(t) 做泰勒展开： e ( n T + Δ t ) = e ( n T ) + e ′ ( n T ) Δ t + 1 2 e ′ ′ ( n T ) Δ t 2 + ⋯ + 1 m ! e ( m ) ( n T ) Δ t m + ⋯ e(nT+\Delta t)=e(nT)+e^\prime(nT)\Delta t+\frac{1}{2}e^{\prime\prime}(nT)\Delta t^2+\cdots+\frac{1}{m!}e^{(m)}(nT)\Delta t^m+\cdots e(nT+Δt)=e(nT)+e′(nT)Δt+21e′′(nT)Δt2+⋯+m!1e(m)(nT)Δtm+⋯可以用带佩亚诺型余项的公式表述： e ( n T + Δ t ) = e ( n T ) + e ′ ( n T ) Δ t + 1 2 e ′ ′ ( n T ) Δ t 2 + ⋯ + 1 m ! e ( m ) ( n T ) Δ t m + o ( e ( m ) ) e(nT+\Delta t)=e(nT)+e^\prime(nT)\Delta t+\frac{1}{2}e^{\prime\prime}(nT)\Delta t^2+\cdots+\frac{1}{m!}e^{(m)}(nT)\Delta t^m+o(e^{(m)}) e(nT+Δt)=e(nT)+e′(nT)Δt+21e′′(nT)Δt2+⋯+m!1e(m)(nT)Δtm+o(e(m))
满足这样的形式的保持器，称之为 m 阶保持器。

1.5 零阶保持器

1、概念
零阶保持器就是把信号恒值外推到下一采样时刻

2、数学描述 e ( n T + Δ t ) = e ( n T ) e(nT+\Delta t)=e(nT) e(nT+Δt)=e(nT)3、保持器作用
从当前采样值，到下一时刻采样前，信号值不变

4、优点
简单易实现

5、图解

6、传递函数
对零阶保持器输入一个理想单位脉冲信号 δ ( t ) \delta(t) δ(t)，脉冲响应为： g h ( t ) = 1 ( t ) − 1 ( t − T ) g_h(t)=1(t)-1(t-T) gh(t)=1(t)−1(t−T)拉氏变换为： G h ( s ) = 1 s − e − T s s = 1 − e − T s s G_h(s)=\frac{1}{s}-\frac{{\rm e}^{-Ts}}{s}=\frac{1-{\rm e}^{-Ts}}{s} Gh(s)=s1−se−Ts=s1−e−Ts注意：这里的 e {\rm e} e，是自然对数底， e ≈ 2.71828 {\rm e}\approx2.71828 e≈2.71828，应该使用正体，之前表示信号的时候的 e e e，是信号变量，应该使用斜体，注意区分细节。

7、相频特性
令 s = j ω s=j\omega s=jω，得： G h ( j ω ) = 1 − e − T j ω j ω = e T j ω 2 e − T j ω 2 − e − T j ω 2 e − T j ω 2 2 j ω 2 G_h(j\omega)=\frac{1-{\rm e}^{-Tj\omega}}{j\omega}=\frac{{\rm e}^{T\frac{j\omega}{2}}{\rm e}^{-T\frac{j\omega}{2}}-{\rm e}^{-T\frac{j\omega}{2}}{\rm e}^{-T\frac{j\omega}{2}}}{2\frac{j\omega}{2}} Gh(jω)=jω1−e−Tjω=22jωeT2jωe−T2jω−e−T2jωe−T2jω提取公因式： G h ( j ω ) = T 2 e − T j ω 2 ( e T j ω 2 − e − T j ω 2 ) T j ω 2 = T sin ⁡ ( ω T / 2 ) ω T / 2 e − j ω T / 2 G_h(j\omega)=\frac{T}{2}\frac{{\rm e}^{-T\frac{j\omega}{2}}({\rm e}^{T\frac{j\omega}{2}}-{\rm e}^{-T\frac{j\omega}{2}})}{T\frac{j\omega}{2}}=T\frac{\sin(\omega T/2)}{\omega T/2}{\rm e}^{-j\omega T/2} Gh(jω)=2TT2jωe−T2jω(eT2jω−e−T2jω)=TωT/2sin(ωT/2)e−jωT/2所以，幅频特性为： ∣ G h ( j ω ) ∣ = T ∣ sin ⁡ ( ω T / 2 ) ∣ ω T / 2 |G_h(j\omega)|=T\frac{|\sin(\omega T/2)|}{\omega T/2} ∣Gh(jω)∣=TωT/2∣sin(ωT/2)∣相频特性为： ∠ G h ( j ω ) = − ω T 2 + k π , k = I N T ( ω / ω s ) \angle G_h(j\omega)=-\frac{\omega T}{2}+k\pi,\space\space k={\rm INT}(\omega/\omega_s) ∠Gh(jω)=−2ωT+kπ, k=INT(ω/ωs)

8、特点
（1）从幅频特性可以看出，零阶保持器具有低通滤波性
证明：幅频特性为： ∣ G h ( j ω ) ∣ = T ∣ sin ⁡ ( ω T / 2 ) ∣ ω T / 2 < T ω T / 2 = 2 ω |G_h(j\omega)|=T\frac{|\sin(\omega T/2)|}{\omega T/2}<\frac{T}{\omega T/2}=\frac{2}{\omega} ∣Gh(jω)∣=TωT/2∣sin(ωT/2)∣<ωT/2T=ω2可以看出，幅频的最大值都会永远小于 2 ω \frac{2}{\omega} ω2，而 2 ω \frac{2}{\omega} ω2 是递减的，所以原式中整个幅频的趋势也是递减的（不能说原式中整个幅频都是递减的，只能说趋势是递减的，因为存在正弦）

（2）从相频特性可以看出，零阶保持器增加了附加相移。
（3）从时频特性可以看出，零阶保持器附加了平均 T / 2 T/2 T/2 的滞后。
证明：零阶保持器传递函数： G h ( s ) = 1 − e − T s s = e T s / 2 e − T s / 2 − e − T s / 2 e − T s / 2 s = e T s / 2 − e − T s / 2 s e T s / 2 G_h(s)=\frac{1-{\rm e}^{-Ts}}{s}=\frac{{\rm e}^{Ts/2}{\rm e}^{-Ts/2}-{\rm e}^{-Ts/2}{\rm e}^{-Ts/2}}{s}=\frac{{\rm e}^{Ts/2}-{\rm e}^{-Ts/2}}{s{\rm e}^{Ts/2}} Gh(s)=s1−e−Ts=seTs/2e−Ts/2−e−Ts/2e−Ts/2=seTs/2eTs/2−e−Ts/2做泰勒展开，得： G h ( s ) = ( 1 + T s 2 + 1 2 ! ( T s 2 ) 2 + ⋯ ) − ( 1 − T s 2 + 1 2 ! ( T s 2 ) 2 + ⋯ ) s e T s / 2 ≈ T s s e T s / 2 G_h(s)=\frac{(1+\frac{Ts}{2}+\frac{1}{2!}(\frac{Ts}{2})^2+\cdots)-(1-\frac{Ts}{2}+\frac{1}{2!}(\frac{Ts}{2})^2+\cdots)}{s{\rm e}^{Ts/2}}\approx\frac{Ts}{s{\rm e}^{Ts/2}} Gh(s)=seTs/2(1+2Ts+2!1(2Ts)2+⋯)−(1−2Ts+2!1(2Ts)2+⋯)≈seTs/2Ts整理得： G h ( s ) ≈ T e T s / 2 = T e − T s / 2 G_h(s)\approx\frac{T}{{\rm e}^{Ts/2}}=T{\rm e}^{-Ts/2} Gh(s)≈eTs/2T=Te−Ts/2这个式子说明滞后 T 2 \frac{T}{2} 2T，负号表示滞后。

请注意，超前和滞后在时域中表示为 ± τ \pm\tau ±τ，在复域下表现为乘以 e ± τ s {\rm e}^{\pm\tau s} e±τs

（4）虽然零阶保持器有如上缺点，但相比于高阶保持器，零阶保持器却是效果最好的，所以在实际应用中，零阶保持器最常使用。

二、离散系统数学模型

本章节涉及到的Z变换和控制系统的相关知识参考链接：
Z变换和Z反变换
控制系统数学模型

2.1 离散系统的概念

将输入序列 r { n } r\{n\} r{n} 变换为输出序列 c { n } c\{n\} c{n} 的变换关系记作 c { n } = F ( r { n } ) c\{n\}=F(r\{n\}) c{n}=F(r{n})，实现这种变换关系的系统称为离散系统。

离散系统分为线性离散系统和非线性离散系统，线性离散系统又分为线性定常离散系统和线性时变离散系统。

如果说连续系统的研究基于时域微分方程，那么离散系统的研究则是基于差分方程。因此，有必要将序列、差分方程做简单解释。在我之前提到的Z变换的那篇文章里，已经涉及到部分差分方程的内容，可以作为补充参考。

2.2 关于差分方程

1、微分
若连续函数 x = f ( t ) x=f(t) x=f(t)，则在 t t t 时刻的一段增量时间内，输出的变化量为 Δ x = f ( t + Δ t ) − f ( t ) \Delta x=f(t+\Delta t)-f(t) Δx=f(t+Δt)−f(t)，则在该段时间内，输出量的变化率为： Δ x Δ t = f ( t + Δ t ) − f ( t ) Δ t \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t} ΔtΔx=Δtf(t+Δt)−f(t)当 Δ → 0 \Delta\to0 Δ→0时，如果： lim ⁡ Δ t → 0 Δ x Δ t \lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta x}{\Delta t} Δt→0limΔtΔx存在，那么就称 lim ⁡ Δ → 0 f ( t + Δ t ) − f ( t ) Δ t \lim_{\Delta\to0}\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t} Δ→0limΔtf(t+Δt)−f(t)为函数 f ( t ) f(t) f(t) 在 t t t 点的导数。同时可以将增量记作： Δ x = f ′ ( t ) Δ t + o ( Δ t ) \Delta x=f^{\prime}(t)\Delta t+o(\Delta t) Δx=f′(t)Δt+o(Δt)，并称 d x = f ′ ( t ) Δ t dx = f^{\prime}(t)\Delta t dx=f′(t)Δt 为 x x x 的微分。

2、差分
（1）前向差分： Δ x ( t k ) = x ( t k + 1 ) − x ( t k ) \Delta x(t_k)=x(t_{k+1})-x(t_k) Δx(tk)=x(tk+1)−x(tk)
（2）后向差分： Δ x ( t k ) = x ( t k ) − x ( x t − 1 ) \Delta x(t_k)=x(t_k)-x(x_{t-1}) Δx(tk)=x(tk)−x(xt−1)
（3）中心差分： Δ x ( t k ) = 1 2 [ x ( x t + 1 ) − x ( x t − 1 ) ] \Delta x(t_k)=\frac{1}{2}[x(x_{t+1})-x(x_{t-1})] Δx(tk)=21[x(xt+1)−x(xt−1)]
以后向差分为例
（4）一阶差分： Δ x ( t k ) = x ( t k ) − x ( x t − 1 ) \Delta x(t_k)=x(t_k)-x(x_{t-1}) Δx(tk)=x(tk)−x(xt−1)
（5）二阶差分： Δ 2 x ( t k ) = Δ x ( t k ) − Δ x ( t k − 1 ) \Delta^2 x(t_k)=\Delta x(t_k)-\Delta x(t_{k-1}) Δ2x(tk)=Δx(tk)−Δx(tk−1)
（6）m阶差分： Δ m x ( t k ) = Δ m − 1 x ( t k ) − Δ m − 1 x ( t k − 1 ) \Delta^m x(t_k)=\Delta^{m-1}x(t_k)-\Delta^{m-1}x(t_{k-1}) Δmx(tk)=Δm−1x(tk)−Δm−1x(tk−1)

3、差分方程
形如： u ( k ) = − ∑ i = 1 n a i u ( k − i ) + ∑ j = 0 m b j e ( k − j ) u(k)=-\sum_{i=1}^{n}a_iu(k-i)+\sum_{j=0}^mb_je(k-j) u(k)=−i=1∑naiu(k−i)+j=0∑mbje(k−j)的表达式称为差分方程。

4、求解方法
（1）迭代法：适用于得到信号序列，这个往往包含无穷项，得到的是离散序列。
（2）经典法
齐次差分方程： u ( k ) = − ∑ i = 1 n a i u ( k − i ) u(k)=-\sum_{i=1}^{n}a_iu(k-i) u(k)=−i=1∑naiu(k−i)设通解： u ( k ) = c λ k u(k)=c\lambda^k u(k)=cλk，求解差分方程特征方程： λ n + a 1 λ n − 1 + a 2 λ n − 2 + ⋯ + a n − 1 λ + a n = 0 \lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+a_2\lambda^{n-2}+\cdots+a_{n-1}\lambda+a_n=0 λn+a1λn−1+a2λn−2+⋯+an−1λ+an=0解得特征根为： λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,⋯,λn，则： u ( k ) = c 1 λ 1 + c 2 λ 2 + ⋯ + c n λ n u(k)=c_1\lambda_1+c_2\lambda_2+\cdots+c_n\lambda_n u(k)=c1λ1+c2λ2+⋯+cnλn，系数可以通过初始条件求解。
（3）Z变换法：对原始差分方程做Z变换，得到结果后再反变换，与拉氏变换解微分方程类似。

2.3 脉冲传递函数

1、定义
零初始条件下，输出信号的Z变换与输入信号的Z变换之比。

2、开环脉冲传递函数
（1）串联环节之间有采样器

X c ( z ) = W 1 ( z ) W 2 ( z ) X r ( z ) ⇒ W ( z ) = X c ( z ) X r ( z ) = W 1 ( z ) W 2 ( z ) = Z [ W 1 ( s ) ] Z [ W 2 ( s ) ] X_c(z)=W_1(z)W_2(z)X_r(z)\Rightarrow W(z)=\frac{X_c(z)}{X_r(z)}=W_1(z)W_2(z)={\mathcal Z}[W_1(s)]{\mathcal Z}[W_2(s)] Xc(z)=W1(z)W2(z)Xr(z)⇒W(z)=Xr(z)Xc(z)=W1(z)W2(z)=Z[W1(s)]Z[W2(s)]
（2）串联环节之间无采样器

X c ( z ) = W ( z ) X r ( z ) ⇒ W ( z ) = X c ( z ) X r ( z ) = Z [ W 1 ( s ) W 2 ( s ) ] = W 1 W 2 ( z ) X_c(z)=W(z)X_r(z)\Rightarrow W(z)=\frac{X_c(z)}{X_r(z)}={\mathcal Z}[W_1(s)W_2(s)]=W_1W_2(z) Xc(z)=W(z)Xr(z)⇒W(z)=Xr(z)Xc(z)=Z[W1(s)W2(s)]=W1W2(z)

（3）典型系统的传递函数举例：

X c ( z ) = X r ( z ) W ( z ) 1 + W H ( z ) X_c(z)=X_r(z)\frac{W(z)}{1+WH(z)} Xc(z)=Xr(z)1+WH(z)W(z)
X r X_r Xr和 W ( s ) W(s) W(s)之间有采样开关，所以 X r ( z ) X_r(z) Xr(z)要单独写，然后开环传递函数中，前向通道的 W ( s ) W(s) W(s)和反馈通道的 H ( s ) H(s) H(s)之间没有采样开关，所以先将 W ( s ) W(s) W(s) 和 H ( s ) H(s) H(s) 相乘，再对乘积做Z变换

X c ( z ) = X r ( z ) W ( z ) 1 + W ( z ) H ( z ) X_c(z)=X_r(z)\frac{W(z)}{1+W(z)H(z)} Xc(z)=Xr(z)1+W(z)H(z)W(z)
X r X_r Xr和 W ( s ) W(s) W(s)之间有采样开关，所以 X r ( z ) X_r(z) Xr(z)要单独写，然后开环传递函数中，前向通道的 W ( s ) W(s) W(s)和反馈通道的 H ( s ) H(s) H(s)之间有采样开关，所以写作 W ( z ) W(z) W(z) 和 H ( z ) H(z) H(z) 相乘。

X c ( z ) = X r W ( z ) 1 + H W ( z ) X_c(z)=\frac{X_rW(z)}{1+HW(z)} Xc(z)=1+HW(z)XrW(z)
X r X_r Xr和 W ( s ) W(s) W(s)之间没有采样开关，所以 X r X_r Xr和 W ( s ) W(s) W(s)要先相乘再对乘积做Z变换，然后开环传递函数中，前向通道的 W ( s ) W(s) W(s)和反馈通道的 H ( s ) H(s) H(s)之间没有采样开关（从H左侧看），所以先将 W ( s ) W(s) W(s) 和 H ( s ) H(s) H(s) 相乘，再对乘积做Z变换，我写了HW（z）方便理解。

X c ( z ) = X r W 1 ( z ) W 2 ( z ) 1 + W 1 W 2 H ( z ) X_c(z)=\frac{X_rW_1(z)W_2(z)}{1+W_1W_2H(z)} Xc(z)=1+W1W2H(z)XrW1(z)W2(z)
X r X_r Xr和 W ( s ) W(s) W(s)之间没有采样开关，所以 X r ( s ) X_r(s) Xr(s) 和 W 1 ( s ) W_1(s) W1(s) 要先乘积再做Z变换，而 W 1 ( s ) W_1(s) W1(s) 和 W 2 ( s ) W_2(s) W2(s) 之间有采样开关，所以要写 X r W 1 ( z ) W 2 ( z ) X_rW_1(z)W_2(z) XrW1(z)W2(z)，然后开环传递函数中，前向通道的 W 1 ( s ) 、 W 2 ( s ) W_1(s)、W_2(s) W1(s)、W2(s)和反馈通道的 H ( s ) H(s) H(s)之间没有采样开关，所以先将 W 1 ( s ) 、 W 2 ( s ) W_1(s)、W_2(s) W1(s)、W2(s) 和 H ( s ) H(s) H(s) 相乘，再对乘积做Z变换。

（4）从上述例子中可以看出，线性定常离散系统的闭环脉冲传递函数不一定存在，具体要看 X r ( z ) X_r(z) Xr(z)能否从中分离出来。但是输出 X c ( z ) X_c(z) Xc(z) 总可以写成一个关于z的表达式。

2.4 离散系统时域响应

在连续系统中，我们求解响应的方法是，根据传递函数和典型输入信号，求解输出信号的拉氏变换，然后反变换得到时域响应。

在离散系统中，由于闭环脉冲传递函数不一定存在，所以不能完全依赖于通过闭环脉冲传递函数得到输出，但是从2.3节中已经说过 X c ( z ) X_c(z) Xc(z) 总可以写成一个关于z的表达式。那么根据这个表达式，使用Z反变换就可以得到输出响应 x c ∗ ( t ) x_c^*(t) xc∗(t)，Z变换和反变换详见：Z变换和Z反变换

【例子】已知系统结构如下：
其中， W ( s ) = K s ( s + 1 ) W(s)=\frac{K}{s(s+1)} W(s)=s(s+1)K， K K K 取1，采样周期 T T T 取1s，求单位阶跃输入下的输出响应。
解：这是一个单位负反馈系统，所以开环脉冲传递函数： W ( z ) = Z [ K s ( s + 1 ) ] = K Z [ 1 s − 1 s + 1 ] = K z ( 1 − e − T ) ( z − 1 ) ( z − e − T ) W(z)={\mathcal Z}[\frac{K}{s(s+1)}]=K{\mathcal Z}[\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}]=\frac{Kz(1-{\rm e}^{-T})}{(z-1)(z-{\rm e}^{-T})} W(z)=Z[s(s+1)K]=KZ[s1−s+11]=(z−1)(z−e−T)Kz(1−e−T)单位阶跃输入下的Z变换为： X r ( z ) = z z − 1 X_r(z)=\frac{z}{z-1} Xr(z)=z−1z则： X c ( z ) = X r ( z ) Φ ( z ) = X r ( z ) W ( z ) 1 + W ( z ) = z z − 1 K z ( 1 − e − T ) z 2 + ( K − K e − T − 1 − e − T ) z + e − T X_c(z)=X_r(z)\Phi(z)=X_r(z)\frac{W(z)}{1+W(z)}=\frac{z}{z-1}\frac{Kz(1-{\rm e}^{-T})}{z^2+(K-K{\rm e}^{-T}-1-{\rm e}^{-T})z+{\rm e}^{-T}} Xc(z)=Xr(z)Φ(z)=Xr(z)1+W(z)W(z)=z−1zz2+(K−Ke−T−1−e−T)z+e−TKz(1−e−T)整理得： X c ( z ) = K ( 1 − e − T ) z 2 z 3 + ( K − K e − T − 2 − e − T ) z 2 − ( K − K e − T − 1 − 2 e − T ) z − e − T X_c(z)=\frac{K(1-{\rm e}^{-T})z^2}{z^3+(K-K{\rm e}^{-T}-2-{\rm e}^{-T})z^2-(K-K{\rm e}^{-T}-1-2{\rm e}^{-T})z-{\rm e}^{-T}} Xc(z)=z3+(K−Ke−T−2−e−T)z2−(K−Ke−T−1−2e−T)z−e−TK(1−e−T)z2令 K = 1 , T = 1 K=1,T=1 K=1,T=1，得： X c ( z ) = 0.632 z − 1 1 − 1.736 z − 1 + 1.104 z − 2 − 0.368 z − 3 X_c(z)=\frac{0.632z^{-1}}{1-1.736z^{-1}+1.104z^{-2}-0.368z^{-3}} Xc(z)=1−1.736z−1+1.104z−2−0.368z−30.632z−1长除法得： X c ( z ) = 0.632 z − 1 + 1.097 z − 2 + 1.205 z − 3 + ⋯ X_c(z)=0.632z^{-1}+1.097z^{-2}+1.205z^{-3}+\cdots Xc(z)=0.632z−1+1.097z−2+1.205z−3+⋯

反变换得到： x c ∗ ( t ) = 0.632 δ ( t − T ) + 1.097 δ ( t − 2 T ) + 1.205 δ ( t − 3 T ) + ⋯ x_c^*(t)=0.632\delta(t-T)+1.097\delta(t-2T)+1.205\delta(t-3T)+\cdots xc∗(t)=0.632δ(t−T)+1.097δ(t−2T)+1.205δ(t−3T)+⋯

三、离散系统的稳定性

离散系统稳定的充要条件：系统特征方程的所有特征根均位于单位圆内，即所有特征根的模值小于1（ ∣ z i ∣ < 1 |z_i|<1 ∣zi∣<1）

3.1 劳斯判据

劳斯判据不可以直接用于离散系统，需要先对原始特征方程做双线性变换。
设原始特征方程为： F ( z ) = 0 F(z)=0 F(z)=0，令 z = w + 1 w − 1 z=\frac{w+1}{w-1} z=w−1w+1，得到 F ′ ( w ) = 0 F^{\prime}(w)=0 F′(w)=0，然后对该方程使用劳斯判据即可。劳斯判据见我的另一篇文章：时域分析法中第4.3节。

3.2 朱利判据

朱利判据是针对离散系统提出的判别稳定性的方法，具体做法为：
设离散系统特征方程： F ( z ) = a n z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 = 0 ( a n > 0 ) F(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0=0(a_n>0) F(z)=anzn+an−1zn−1+⋯+a1z+a0=0(an>0)，则朱利阵列为：

z 0 z^0 z0	z 1 z^1 z1	z 2 z^2 z2	z 3 z^3 z3	⋯ \cdots ⋯	z n − k z^{n-k} zn−k	⋯ \cdots ⋯	z n − 1 z^{n-1} zn−1	z n z^n zn
a 0 a_0 a0	a 1 a_1 a1	a 2 a_2 a2	a 3 a_3 a3	⋯ \cdots ⋯	a n − k a_{n-k} an−k	⋯ \cdots ⋯	a n − 1 a_{n-1} an−1	a n a_n an
a n a_n an	a n − 1 a_{n-1} an−1	a n − 2 a_{n-2} an−2	a n − 3 a_{n-3} an−3	⋯ \cdots ⋯	a k a_k ak	⋯ \cdots ⋯	a 1 a_1 a1	a 0 a_0 a0
b 0 b_0 b0	b 1 b_1 b1	b 2 b_2 b2	b 3 b_3 b3	⋯ \cdots ⋯	b n − k b_{n-k} bn−k	⋯ \cdots ⋯	b n − 1 b_{n-1} bn−1
b n − 1 b_{n-1} bn−1	b n − 2 b_{n-2} bn−2	b n − 3 b_{n-3} bn−3	b n − 4 b_{n-4} bn−4	⋯ \cdots ⋯	b k − 1 b_{k-1} bk−1	⋯ \cdots ⋯	b 0 b_0 b0
c 0 c_0 c0	c 1 c_1 c1	c 2 c_2 c2	c 3 c_3 c3	⋯ \cdots ⋯	c n − 2 c_{n-2} cn−2
c n − 2 c_{n-2} cn−2	c n − 3 c_{n-3} cn−3	c n − 4 c_{n-4} cn−4	c n − 5 c_{n-5} cn−5	⋯ \cdots ⋯	c 0 c_0 c0
⋮ \vdots ⋮	⋮ \vdots ⋮	⋮ \vdots ⋮	⋮ \vdots ⋮
γ 0 \gamma_0 γ0	γ 1 \gamma_1 γ1	γ 2 \gamma_2 γ2	γ 3 \gamma_3 γ3
γ 3 \gamma_3 γ3	γ 2 \gamma_2 γ2	γ 1 \gamma_1 γ1	γ 0 \gamma_0 γ0
β 0 \beta_0 β0	β 1 \beta_1 β1	β 2 \beta_2 β2

其中： b k = ∣ a 0 a n − k a n a k ∣ b_k=\begin{vmatrix} a_0 & a_{n-k} \\\\ a_n & a_k \end{vmatrix} bk= a0anan−kak c k = ∣ b 0 b n − k − 1 b n − 1 b k ∣ c_k=\begin{vmatrix} b_0 & b_{n-k-1} \\\\ b_{n-1} & b_k \end{vmatrix} ck= b0bn−1bn−k−1bk d k = ∣ c 0 c n − k − 2 c n − 2 c k ∣ d_k=\begin{vmatrix} c_0 & c_{n-k-2} \\\\ c_{n-2} & c_k \end{vmatrix} dk= c0cn−2cn−k−2ck ⋮ \vdots ⋮ β 0 = ∣ γ 0 γ 3 γ 3 γ 0 ∣ , β 1 = ∣ γ 0 γ 2 γ 3 γ 1 ∣ , β 2 = ∣ γ 0 γ 1 γ 3 γ 2 ∣ \beta_0=\begin{vmatrix} \gamma_0 & \gamma_3 \\\\ \gamma_3 & \gamma_0 \end{vmatrix},\beta_1=\begin{vmatrix} \gamma_0 & \gamma_2 \\\\ \gamma_3 & \gamma_1 \end{vmatrix},\beta_2=\begin{vmatrix} \gamma_0 & \gamma_1 \\\\ \gamma_3 & \gamma_2 \end{vmatrix} β0= γ0γ3γ3γ0 ,β1= γ0γ3γ2γ1 ,β2= γ0γ3γ1γ2
稳定条件：
（1） F ( 1 ) > 0 F(1)>0 F(1)>0

（2） ( − 1 ) n F ( − 1 ) > 0 (-1)^nF(-1)>0 (−1)nF(−1)>0

（3） ∣ a 0 ∣ < a n |a_0|<a_n ∣a0∣<an

（4） ∣ b 0 ∣ > ∣ b n − 1 ∣ , ∣ c 0 ∣ > ∣ c n − 2 ∣ , ⋯ , ∣ β 0 ∣ > ∣ β 2 ∣ |b_0|>|b_{n-1}|,|c_0|>|c_{n-2}|,\cdots,|\beta_0|>|\beta_2| ∣b0∣>∣bn−1∣,∣c0∣>∣cn−2∣,⋯,∣β0∣>∣β2∣

当上述条件都满足时，系统是稳定的。

特殊地，如果 n = 2 n=2 n=2，则条件简化为：
（1） a 0 + a 1 + a 2 > 0 a_0+a_1+a_2>0 a0+a1+a2>0
（2） a 0 − a 1 + a 2 > 0 a_0-a_1+a_2>0 a0−a1+a2>0
（3） a 2 > ∣ a 0 ∣ a_2>|a_0| a2>∣a0∣

四、离散系统的稳态误差

4.1 稳态误差计算与描述

离散系统是连续系统增加采样开关和其他必要装置形成的系统，而采样开关的位置不同，会导致系统的结构不同，因此离散系统没有唯一的典型结构图，故而也没有唯一的误差传递函数，这就导致无法给出唯一的稳态误差计算式，只能根据具体情况具体分析。

假设已知某系统结构
则： E ( z ) = X r ( z ) − X c ( z ) = [ 1 − Φ ( z ) ] X r ( z ) = Φ e ( z ) X r ( z ) = 1 1 + W ( z ) X r ( z ) E(z)=X_r(z)-X_c(z)=[1-\Phi(z)]X_r(z)=\Phi_e(z)X_r(z)=\frac{1}{1+W(z)}X_r(z) E(z)=Xr(z)−Xc(z)=[1−Φ(z)]Xr(z)=Φe(z)Xr(z)=1+W(z)1Xr(z)则由Z变换终值定理，得： e s s ( ∞ ) = lim ⁡ t → ∞ e ∗ ( t ) = lim ⁡ z → 1 ( 1 − z − 1 ) E ( z ) = lim ⁡ z → 1 ( z − 1 ) X r ( z ) z [ 1 + W ( z ) ] e_{ss}(\infty)=\lim_{t\to\infty}e^*(t)=\lim_{z\to1}(1-z^{-1})E(z)=\lim_{z\to1}\frac{(z-1)X_r(z)}{z[1+W(z)]} ess(∞)=t→∞lime∗(t)=z→1lim(1−z−1)E(z)=z→1limz[1+W(z)](z−1)Xr(z)类似地，若有其他结构的系统，亦可通过类似的方法求解。

4.2 离散系统误差直观体会

1、影响因素
（1）系统结构，包括开环增益和积分环节数量。
（2）输入信号类型

2、采样周期对稳态误差的影响
（1）具有零阶保持器的系统，被控对象与零阶保持器一起离散后，系统稳态误差和采样周期没有必然联系。
（2）如果被控对象包含有足够数量的积分环节，则稳态误差与采样周期无关。
（3）如果积分环节数量不足，则采样周期越小，稳态误差越小。

3、减小稳态误差的方法
（1）增大开环增益或扰动前前向通道增益；
（2）串联更多的积分环节以提高系统型别；
（3）采用前馈补偿。

五、更多内容参考

[1] 刘建昌，等. 计算机控制系统[M]. 北京：科学出版社. 2009.
[2] 闫石，等. 数字电子技术基础[M]. 北京：高等教育出版社.
[3] 于海生，等. 微型计算机控制技术[M]. 第3版. 北京：清华大学出版社. 2017.
[4] 王锦标，等. 计算机控制系统[M]. 第2版. 北京：清华大学出版社. 2008.

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