【晶体学基础】空间群和对称性

在材料学研究中，尤其是晶体材料，离不开空间群的使用。空间群描述了晶体内部结构中全部对称要素。对应于001期中：晶体结构 = 基元 + 点阵 + 周期性。在晶体学中我们一般直接默认具有周期性，而空间群对应的就是点阵，即基元在晶体中的排列情况。因此可以得到：晶体结构 = 基元 + 空间群 + 周期性

空间群符号的组成

根据最简化和实际情况可以得到空间群仅有230个，其中包含73个点空间群(点群一共有32个)，157个非点空间群。那么空间群的符号到底代表什么意思?

以金刚石的227号空间群Fd-3m为例进行引入。首先Fd-3m可以分解写作F d -3 m，其中F为面心格子类型，d为滑移面，-3为3次旋转反演对称，m为镜面对称。

空间群前一部分是格子类型(布拉菲格子)[P，C(A、B)，I，F，R]，后一部分为点群或对称性操作。

格子类型符号

P为简单格子，C为与c轴相交面的底心格子(A、B类似)，I为体心格子，F为面心格子，R为三方晶系格子。对应的布拉菲点阵如下图：

对称性符号

对称性操作：宏观对称性操作、微观对称性操作。其中微观对称性操作 = 宏观对称性操作 + 平移操作。宏观对称性操作：宏观对称性元素有对称面(或镜面)、对称中心(或反演中心)、旋转轴和旋转反演轴。基本的对称性操作分为n次旋转对称、n次旋转反演对称。

镜面对称用符号m表示，反演操作用符号i表示。

n次旋转对称：若晶体绕某一固定轴旋转角度θ = π/2n 以后能自身重合，则称该轴为n次旋转对称轴。n只能取 1、 2、 3、 4、 6。

n次旋转反演对称：若绕某一对称轴旋转 π/2n 角度以后，再经过中心反演 (即x → -x、 y → -y、 z → -z)，晶体能与自身重合，则称该轴为 n 次旋转反演轴，又称 n 次像转轴，这是一种复合对称操作。显然，晶体的旋转反演轴也只有 1、 2、 3、 4、 6 次，而不可能有 5 次或 6 次以上的旋转反演轴，国际符号用-1、-2、-3、-4、-6表示。

但是上诉的对称操作有部分不是独立的，如-1 = i、-2 = m、-3 = 3 + i、-6 = 3 +m。去除非独立的对称性操作，宏观对称性中有八种基本对称操作元素，即1、2、3、4、6、i、m、-4。将上诉基本对称元素组合起来，得到32种宏观对称类型，也称32个点群，如下图：

微观对称性操作：宏观对称性操作 + 平移操作。对称性操作包括平移、螺旋旋转、滑移反映。

平移对称性用符号t表示。

旋转对称：用符号ns表示，其中n为旋转的轴次，分别为1、2、3、4、6，s与平移矢量——螺距有关。共有11种对称性操作，分别为21、31、32、41、42、43、61、62、63、64、65。

滑移反映：有五种，符号分别为a、b、c、n、d。其中a、b、c为轴向滑移面，n为对角线滑移面，d为金刚石型滑移面。

空间群符号构成中，除了格子类型和对称性，还存在一个/的符号，如P21/c，表示有一个c滑移面垂直于21螺旋轴。

参考文献：【1】《固体物理》，黄昆著

【2】《材料科学基础》，上海交通大学出版

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