有限元求解两点边值问题之二

问题：$$-\frac{d^2u}{dx^2}=f(x)$$

边值条件为$$u(a)=0,u(b)=1$$,

精确解为$$u=x^{\frac{3}{4}}$$

其Galerkin推导有限元方程的过程可参见《微分方程数值解法》李荣华第四版P226

代码如下

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Jun  6 21:04:25 2018@author: shaowuGalerkin有限元法求解两边值问题，方程形式：
p*u''=f(u,x),u(a)=0,u(b)=1
其双线性形式为a(u,v)=p*u'*v'的一重积分
"""
import numpy as np
import pandas as pd
import scipy as sp
import numpy.linalg as LA
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special.orthogonal import p_roots
import time
start_time=time.time()
def gauss_xw(m=100):"""默认用100个点求高斯——勒让德节点point和权weight，并返回"""point,weight=p_roots(m+1)return point,weightdef function_u(x):"""精确解"""return x**(3/4)def f_function(x):"""定义方程右端函数"""return 3/16*x**(-5/4)def hat_function(x,t,i,h,n):#构造试探函数空间的一组基函数：线性插值公式构造如下#参数：h 步长列表#t 节点列表#i 第i个节点#n 节点个数#x 变量if i==n:if t[n]>=x and x>=t[n-1]:return 1+(x-t[n])/h[n-1]else:return 0else:if t[i]>=x and x>=t[i-1]:return 1+(x-t[i])/h[i-1]elif t[i+1]>=x and x>=t[i]:return 1-(x-t[i])/h[i]else:return 0
"""
def hat_function(x,t,j,h,n):#h=(b-a)/(n)#t=[a+i*h for i in range(0,n+1)]if j==0:if x>=t[0] and x<=t[1]:return 1-abs(x-t[0])/h[j]else:return 0if j==n:if t[n-1]<=x and x<=t[n]:return 1-abs(x-t[n])/h[j]else:return 0if j>0 and j<n:if t[j-1]<=x and x<=t[j+1]:return 1-abs(x-t[j])/h[j]else:return 0
"""
def compute_right_of_equation(point,weight,t,h,n,a,b):"""计算方程的右端项参数：h 步长列表a,b 对应区间[a,b]"""c=(b-a)/2s=(b-a)/2*point+(a+b)/2 #把区间[a,b]变化到[-1,1]f=[sum([c*weight[i]*f_function(s[i])*hat_function(s[i],t,j,h,n) for i in range(len(s))])for j in range(1,len(t)-1)]f[-1]=f[-1]+1/h[-1] #添加右端初值条件return f
def compute_stiffness_matrix(point,weight,t,h,n,a,b):"""计算系数矩阵，即总的刚度矩阵"""A=np.zeros((n-1,n-1))for j in range(1,len(t)-1):if j==1:A[j-1,j-1]=+sp.integrate.quad(lambda x: h[j]**(-2),t[j-1],t[j+1])[0]#sp.integrate.quad(lambda x: h[j]**(-2),t[j],t[j+1])[0]A[j-1,j]=sp.integrate.quad(lambda x: -h[j]**(-2),t[j],t[j+1])[0]#A[j,j-1]=sp.integrate.quad(lambda x: h[j]**(-2),t[j-1],t[j])[0]elif j==n-1:A[j-1,j-2]=sp.integrate.quad(lambda x: -h[j-1]**(-2),t[j-1],t[j])[0]A[j-1,j-1]=+sp.integrate.quad(lambda x: h[j-1]**(-2),t[j-1],t[j+1])[0]else:A[j-1,j-2]=sp.integrate.quad(lambda x: -h[j-1]**(-2),t[j-1],t[j])[0]A[j-1,j-1]=+sp.integrate.quad(lambda x: h[j-1]**(-2),t[j-1],t[j])[0]+\sp.integrate.quad(lambda x: h[j]**(-2),t[j],t[j+1])[0]A[j-1,j]=sp.integrate.quad(lambda x: -h[j]**(-2),t[j],t[j+1])[0]return np.array(A)def solve_ui(A,b):"""计算ui"""return np.linalg.solve(A,np.array(b))
def solve_uh(ui,t,h,n,a,b):"""计算uh和误差"""uh=[sum([ui[j]*hat_function(x,t,j+1,h,n) for j in range(n-1)]) for x in t if x!=1]error=function_u(np.array(t[:-1]))-uhreturn uh,LA.norm(error,np.inf)
if __name__ == '__main__':a=0 #区间a,bb=1n=20h=(b-a)/(n) #等距步长t=[a+i*h for i in range(0,n+1)] #节点h=[(b-a)/(n) for i in range(n)] #子区间步长集合point,weight=gauss_xw(m=100) #高斯勒让德节点point和权weightf=compute_right_of_equation(point,weight,t,h,n,a,b) #计算方程右端项A=compute_stiffness_matrix(point,weight,t,h,n,a,b) #计算系数矩阵，即总刚度矩阵ui=solve_ui(A,f) #计算uiuh,error=solve_uh(ui,t,h,n,a,b) #计算uh和误差print('the error is:',error)plt.plot(t,[0]+list(ui)+[1],'+b',label='approximate solution')plt.plot(t,function_u(np.array(t)),'r',label='exact solution')plt.title('Fig2.(where a=0,b=1,n=20,$u(x)=x^{3/4}$,$u(1)=0,u(1)=1$)')plt.xlabel('x')plt.ylabel('u')plt.legend(loc='upper center')print('all cost time:',time.time()-start_time)

运行结果

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all cost time: 0.23321843147277832

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