＜Principles of fMRI 1＞课程笔记7 K空间

这一模块的主要作用是增强学生对K空间（K space）与图像空间（image space）之间关系的感性理解。由于K空间的数据分布实际上是图像空间中数据的二维傅立叶变换结果，因此如果你对傅立叶变换比较了解，就不必仔细看这一模块啦。

K空间中的数据点和图像空间中的数据点并不是一一对应的。一个K空间中的数据点对应了图像空间中所有数据点的一部分信息。事实上，K空间中的数据正是图像空间中的数据作二维傅立叶变换的结果（图1），也就是说，我们的“大脑图像”可以被看作是由一系列频率、相位、方向各异的二维正弦波叠加而成的，而K空间的数据正表示了图像的正弦波组成。因此，为了理解如何从K空间中的数据变换得到图像空间中的数据，我们必须首先理解傅立叶变换。

图1 K空间中的数据是图像空间中的数据的二维傅立叶变换

为了方便理解，我们首先从一维傅立叶变换说起。如图2所示，对三个不同频率的正弦波进行线性叠加，叠加时每一个都乘以一个系数（在这个例子中，第一个乘以0.5，第二个乘以2，第三个乘以1），而等号下面的图片则显示了线性叠加后的结果在时域（time domain）中的形态。其右侧的图片显示了傅立叶变换后的结果，也即正弦波的叠加在频域（frequency domain）中的表示。图中的三个峰分别代表这三个叠加起来的正弦波，三个峰的横坐标分别代表这三个正弦波的频率，而其纵轴坐标则代表线性叠加时乘上的系数，也即成上系数后相应的正弦波的波幅（第一个峰的高度为0.5，第二个为2，第三个为1）。由此可见，傅立叶变换实际上是将信号分解为不同频率、不同振幅的正弦波的过程。

图2 一维傅立叶变换示意图

对于二维的图像，也可以相同的原理作傅立叶变换，将信号分解为不同的频率成分；而K空间正是一个用于表征分解出的频率成分的频域空间（类似于图2中的右图）。如图3所示，在二维的K空间中，每个点都代表一个正弦波成分。该成分的方向是从原点指向该点的方向；频率则随着远离原点而逐渐增加。这就好比图2右图中，每个正弦波成分的方向都是沿着x轴，频率也是随着远离原点而增加一样。图3右侧的三张图由上至下分别表示了K空间中的青色、灰色和红色点处的正弦成分，在时域中的表示。可以看到，青色点距原点较近，其表示的正弦成分的频率也更低；灰色点距原点较远，其表示的正弦成分频率则更高。红色点和灰色点到原点的距离一致，因而其表示的正弦成分的频率也一致；然而二者表示的正弦波的方向则有所不同，分别是从原点到红色点、从原点到灰色点的方向。K空间就好比图2中的右图一样，代表了图像空间中正弦波成分的频率分布。

图3 K空间中的数据表示了图像空间中正弦成分的频率分布

为了更好地理解K空间中数据的含义，我们不妨做几个思想实验。

如图4，左上图为一次MRI实验中得到的K空间中表示的数据，对其做逆傅立叶变换即可得到右上图，也就是我们常常看到的大脑剖面图。这似乎令人难以置信：仅仅是将左上图中表示的各个频率、各个方向、具有不同权重的正弦成分相叠加，就能得到右上图了吗？答案是肯定的。我们不妨将左上图中黄色点的数值乘以2，也即将相应的正弦波的振幅增加至原来的两倍，看看逆傅立叶变换后得到的是什么结果。于是我们得到了左下图——正常的大脑剖面图和一个正弦波的叠加，而这个正弦波的方向正是黄色点所代表的那个正弦波的方向！那么将红色点的数值乘以2呢？逆傅立叶变换后我们得到了右下图，这次是大脑剖面图和红色点代表的正弦波的叠加！

图4 思想实验之一

我们再来考察去除高频或低频成分会发生什么。我们知道，K空间中越远离原点的位置，所代表的正弦波的频率越高。如图5，当我们删除K空间中远离原点位置的那些数据时（图5上两张），逆傅立叶变换得到的图像能够比较好地显示大脑剖面图的样子，只是变得有些模糊，分辨率不够高。而当我们删除K空间中原点附近位置的数据时（图5下两张），逆傅立叶变换得到的则是关于结构边界的细节。左上、左下两张图的叠加，可以恢复原来的K空间中的数据；而右上、右下图的叠加，则可以恢复原来的图像空间中的数据。

图5 思想实验之二

由此我们可以看出，图像空间中的图像分辨率与K空间中的数据点数量密切相关。K空间中有多少数据点，图像空间中也就能还原出多少个数据点；K空间中有越多的数据点，图像的空间分辨率也就越好。图6给出了几个K空间数据点个数语图像空间中图像分辨率的关系。当K空间中有1024个数据点时，我们可以还原出32 ×32的图像；当K空间中有4096个数据点时，可以还原出64 ×64的图像；当K空间中有16348个数据点时，可以还原出128 ×128的图像……然而我们又知道，要想在K空间中取更多的数据点，就必须进行更多次的测量，也就要耗费更长的时间。因此，要想提升图像空间分辨率，就必须付出降低时间分辨率的代价。在实际工作中，我们应当根据要研究的问题，找到时间分辨率和空间分辨率的平衡。

图6 K空间中的数据点数量与图像空间中的图像分辨率

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