算法 Maximum Subsequence Sum 2004年浙江大学计算机专业考研复试真题

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题目：Given a sequence of K integers { N1, N2, ..., NK }. A continuous subsequence is defined to be { Ni, Ni+1, ..., Nj } where 1≤i≤j≤K. The Maximum Subsequence is the continuous subsequence which has the largest sum of its elements. For example, given sequence { -2, 11, -4, 13, -5, -2 }, its maximum subsequence is { 11, -4, 13 } with the largest sum being 20.

Now you are supposed to find the largest sum, together with the first and the last numbers of the maximum subsequence.

Input Specification:

Each input file contains one test case. Each case occupies two lines. The first line contains a positive integer K (≤10000). The second line contains K numbers, separated by a space.

Output Specification:

For each test case, output in one line the largest sum, together with the first and the last numbers of the maximum subsequence. The numbers must be separated by one space, but there must be no extra space at the end of a line. In case that the maximum subsequence is not unique, output the one with the smallest indices i and j (as shown by the sample case). If all the K numbers are negative, then its maximum sum is defined to be 0, and you are supposed to output the first and the last numbers of the whole sequence.

Sample Input:

10
-10 1 2 3 4 -5 -23 3 7 -21

Sample Output:

10 1 4

给定一个K整数序列{ N1，N2，…，Nk }。连续子序列定义为{ Ni，Ni+1，…，Nj }，其中1≤i≤j≤K。最大子序列是具有最大元素和的连续子序列。例如，给定序列{-2，11，-4，13，-5，-2}，其最大子序列为{11，-4，13}，最大和为20。

现在您应该找到最大和，以及最大子序列的第一个和最后一个数。

输入规格：

每个输入文件包含一个测试用例。每个案件都有两行。第一行包含正整数K（≤10000）。第二行包含K个数字，用空格隔开。

输出规格：

对于每个测试用例，在一行中输出最大和，以及最大子序列的第一个和最后一个数字。数字必须用一个空格隔开，但行尾不能有多余的空格。如果最大子序列不唯一，则输出索引i和j最小的子序列（如示例所示）。如果所有K个数都是负数，那么它的最大和被定义为0，你应该输出整个序列的第一个和最后一个数。

解答：

这个题乍看一下感觉和找最大子列问题的难度差不多，只是在得到最大子列的同时还得把最大子列的前后索引保存下来。

我们思考一下在线处理算法，

//寻找最大子列
int findMaxSubSeq(int A[],int N) {int ThisSum,MaxSum;int i;ThisSum = MaxSum = 0;for(i=0;i<N;i++){ThisSum += A[i];//向右累加if(ThisSum>MaxSum)MaxSum = ThisSum;//发现更大和则更新当前结果else if(ThisSum<0)//当前子列和为负ThisSum = 0;//则不能使后面的部分和增大，抛弃之}return MaxSum;
}

在线处理算法是从头遍历到末尾，所以复杂度为N。考虑如下列表：

我们发现若要记录最大子列的右边的索引会很简单，只需要在 if(ThisSum>MaxSum) 判断成功后让当前的i更新为右边的索引即可。

如此做，我们逆转一下思维：从左往右遍历，找到的是最大子列的右边索引，我们从右往左遍历，不就能找到最大子列的左索引了吗？

有个细节：当我们使用上面的数据时，

-10 1 2 3 4 -5 -23 3 7 -21

有两组最大子列，一个是 1 2 3 4 ，另一个是 3 7，而我们需要打印的是第一个子列，所以从右往左遍历的时候我们应该从找到的最大子列的右索引开始往左遍历，而不是从整个数列的最右边往左遍历。

#include<iostream>
using namespace std;
//寻找最大子列
int findMaxSubSeq(int A[],int N,int &left,int &right) {int ThisSum,MaxSum;int i;ThisSum = MaxSum = 0;for(i=0;i<N;i++){ThisSum += A[i];//向右累加if(ThisSum>MaxSum){MaxSum = ThisSum;//发现更大和则更新当前结果right = i;}  else if(ThisSum<0)//当前子列和为负ThisSum = 0;//则不能使后面的部分和增大，抛弃之}ThisSum = MaxSum = 0;for(i=right;i>=0;i--){ThisSum += A[i];//向左累加if(ThisSum>MaxSum){MaxSum = ThisSum;//发现更大和则更新当前结果left= i;}  else if(ThisSum<0)//当前子列和为负ThisSum = 0;//则不能使后面的部分和增大，抛弃之}  return MaxSum;
}int main(){int b[1000000] = {};int num,left,right;cin>>num;for(int i = 0;i<num;i++){cin>>b[i];}int xx = findMaxSubSeq(b,num,left,right);cout<<xx<<" "<<b[left]<<" "<<b[right];return 0;
}

但是提交以后出现了一点问题：

好吧漏题了。

全都是负数会出现什么情况呢？即最后的和会等于0，因为没有任何值加进来。想象一下，只要里面有一个正数，最大子列和就不可能为0。

然后有负数和0的情况，也就是说得把0给挑出来，那就干脆设置一个更小的初始MaxSum=-1，-1是最小的负数，这样，只要检测到0，ThisSum就比-1大。

#include<iostream>
using namespace std;
using std::cout;
using std::cin;
//寻找最大子列
int findMaxSubSeq(int A[], int N, int &left, int &right) {int ThisSum, MaxSum;int i;ThisSum = 0;MaxSum = -1;for (i = 0;i<N;i++) {ThisSum += A[i];//向右累加if (ThisSum>MaxSum) {MaxSum = ThisSum;//发现更大和则更新当前结果right = i;}else if (ThisSum<0)//当前子列和为负ThisSum = 0;//则不能使后面的部分和增大，抛弃之}ThisSum = 0;MaxSum = -1;for (i = right;i >= 0;i--) {ThisSum += A[i];//向左累加if (ThisSum>MaxSum) {MaxSum = ThisSum;//发现更大和则更新当前结果left = i;}else if (ThisSum<0)//当前子列和为负ThisSum = 0;//则不能使后面的部分和增大，抛弃之}if (MaxSum < 0) {MaxSum = 0;left = 0;right = N - 1;}return MaxSum;
}
/*
17
-10 -1 -2 -3 0 0 0 0 3 -2 4 -5 0 -23 -3 -7 -21
*/
int main() {int b[10000] = {};int num, left, right;cin >> num;for (int i = 0;i<num;i++) {cin >> b[i];}int xx = findMaxSubSeq(b, num, left, right);cout << xx << " " << b[left] << " " << b[right];//cout <<endl<< xx << " " << left << " " << right<<endl;system("pause");return 0;
}

之后除了“最大和前面有一段是0”以外其他都正确了。

这个最大和前面有一段是0是什么鬼？

难道要把前面的0也给输出了？

行吧，试了好多次，发现不止这样，

比如如下数据：

17
-10 -1 -2 -3 0 0 3 -3 3 -2 4 0 0 -5 0 -23 -3 -7 -21

竟然是输出5 0 4，因为3 -2 4 前面有一个3和-3，加起来为0，所以也放到了最大子列里面（我觉得应该是题目用的编译器的bug）同时前面的0也都放到了最大子列里面。于是我们把向左遍历里面判断的大于号改为大于等于，这次提交以后全部正确。

#include<iostream>
using namespace std;
using std::cout;
using std::cin;
//寻找最大子列
int findMaxSubSeq(int A[], int N, int &left, int &right) {int ThisSum, MaxSum;int i;ThisSum = 0;MaxSum = -1;for (i = 0;i<N;i++) {ThisSum += A[i];//向右累加if (ThisSum>MaxSum) {MaxSum = ThisSum;//发现更大和则更新当前结果right = i;}else if (ThisSum<0)//当前子列和为负ThisSum = 0;//则不能使后面的部分和增大，抛弃之}ThisSum = 0;MaxSum = -1;for (i = right;i >= 0;i--) {ThisSum += A[i];//向左累加if (ThisSum>MaxSum) {MaxSum = ThisSum;//发现更大和则更新当前结果left = i;}else if (ThisSum<0)//当前子列和为负ThisSum = 0;//则不能使后面的部分和增大，抛弃之}if (MaxSum < 0) {MaxSum = 0;left = 0;right = N - 1;}return MaxSum;
}int main() {int b[10000] = {};int num, left, right;cin >> num;for (int i = 0;i<num;i++) {cin >> b[i];}int xx = findMaxSubSeq(b, num, left, right);cout << xx << " " << b[left] << " " << b[right];//cout <<endl<< xx << " " << left << " " << right<<endl;system("pause");return 0;
}