JSOI2018 Day2 T1 战争

题解

每次询问暴力判断时间无法满足，考虑是否可以求出使两凸包有交或无交的向量所在的范围。
若两个凸包平移向量www后有交，等价于∃a∈A,b∈B,a=b+w\exists a\in A,b\in B,a=b+w∃a∈A,b∈B,a=b+w，即∃a∈A,b∈B,w=a−b\exists a\in A,b\in B, w=a-b∃a∈A,b∈B,w=a−b，则所有www的取值范围是{a−b∣a∈A,b∈B}\{a-b|a\in A,b\in B\}{a−b∣a∈A,b∈B}，把bbb向量全部取反，和aaa做一遍闵可夫斯基和得到的凸包就是能使两凸包有交的向量范围（包括凸包的边）。
最后只需要判断向量是否在凸包上，如果用回转数或光线投射复杂度是O(nq)O(nq)O(nq)的，可以先把凸包最左下角的点平移到(1,1)(1,1)(1,1)，二分出该向量的极角序在哪两个顶点之间，然后判断该向量是否在这两个向量和(1,1)(1,1)(1,1)构成的三角形内，复杂度降为O(qlog⁡2n)O(q\log_2 n)O(qlog2n)。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define N 200010
#define ld long double
#define ll long long
struct no {ll x, y, s;ld d;
}a[N], b[N], a0[N], b0[N], q[N];
int n, m, t;
ll sqr(ll x) {return x * x;
}
int cmp(no x, no y) {if(x.y == y.y) return x.x < y.x;return x.y < y.y;
}
int cmp1(no x, no y) {if(x.d == y.d) return x.s > y.s;return x.d < y.d;
}
no in(no x, no y) {return {x.x + y.x, x.y + y.y};
}
no de(no x, no y) {return {x.x - y.x, x.y - y.y};
}
ll ct(no x, no y) {return x.x * y.y - x.y * y.x;
}
void solve() {int i;sort(a + 1, a + n + 1, cmp);for(i = 2; i <= n; i++) {a[i].d = atan2(a[i].y - a[1].y, a[i].x - a[1].x);a[i].s = sqr(a[i].y - a[1].y) + sqr(a[i].x - a[1].x);}sort(a + 2, a + n + 1, cmp1);t = 1;q[1] = a[1];for(i = 2; i <= n; i++) if(i == 2 || a[i].d != a[i - 1].d) {while(t > 1 && ct(de(q[t], q[t - 1]), de(a[i], q[t])) < 0) t--;q[++t] = a[i];}
}
int main() {int Q, i;scanf("%d%d%d", &n, &m, &Q);for(i = 1; i <= n; i++) {scanf("%lld%lld", &a[i].x, &a[i].y);}for(i = 1; i <= m; i++) {scanf("%lld%lld", &b[i].x, &b[i].y);b[i].x = -b[i].x, b[i].y = -b[i].y;}solve();int at = t;for(i = 1; i <= t; i++) a0[i] = q[i];n = m;for(i = 1; i <= m; i++) a[i] = b[i];solve();int bt = t; for(i = 1; i <= t; i++) b0[i] = q[i];int tot = 0;for(i = 1; i <= at; i++) {a[++tot] = de(a0[i % at + 1], a0[i]);a[tot].d = atan2(a[tot].y, a[tot].x);if(a[tot].d < 0) a[tot].d += M_PI * 2.0;}for(i = 1; i <= bt; i++) {a[++tot] = de(b0[i % bt + 1], b0[i]);a[tot].d = atan2(a[tot].y, a[tot].x);if(a[tot].d < 0) a[tot].d += M_PI * 2.0;}sort(a + 1, a + tot + 1, cmp1);q[1] = in(a0[1], b0[1]);for(i = 1; i < tot; i++) q[i + 1] = in(q[i], a[i]);for(i = 2; i <= tot; i++) {q[i].d = atan2(q[i].y - q[1].y, q[i].x - q[1].x);}while(Q--) {no x;scanf("%lld%lld", &x.x, &x.y);x.d = atan2(x.y - q[1].y, x.x - q[1].x);if(x.d > q[tot].d || x.d < 0) {printf("0\n");continue;}int l = 1, r = tot - 1, s;while(l <= r) {int mid = (l + r) / 2;if(x.d >= q[mid].d) s = mid, l = mid + 1; else r = mid - 1;}if(ct(de(x, q[s]), de(q[s + 1], x)) <= 0) printf("1\n"); else printf("0\n");}return 0;
}

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