八皇后 C++ 递归算法和循环嵌套算法共得到 92 种题解

八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题：如何能够在8×8的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后，为了达到此目的，任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。八皇后问题可以推广为更一般的n皇后摆放问题：这时棋盘的大小变为n×n，而皇后个数也变成n。当且仅当n = 1或n ≥ 4时问题有解。

八皇后问题最早是由西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔（Max Bezzel）于1848年提出。第一个解在1850年由弗朗兹·诺克（Franz Nauck）给出。并且将其推广为更一般的n皇后摆放问题。诺克也是首先将问题推广到更一般的n皇后摆放问题的人之一。

在此之后，陆续有数学家对其进行研究，其中包括高斯和康托，1874年，S.冈德尔提出了一个通过行列式来求解的方法，这个方法后来又被J.W.L.格莱舍加以改进。

1972年，艾兹格·迪杰斯特拉用这个问题为例来说明他所谓结构化编程的能力。他对深度优先搜索回溯算法有着非常详尽的描述。

八个皇后在8x8棋盘上共有4,426,165,368 种摆放方法，但只有92个互不相同的解。如果将旋转和对称的解归为一种的话，实际上一共只有12个独立解，

以上信息摘自维基百科 https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E5%85%AB%E7%9A%87%E5%90%8E%E9%97%AE%E9%A2%98

闲来无事，写了一段八皇后解题方法，共输出 92 种解题方案。

两种算法输出：分别是 eight.cpp 调用的 GenerateLoop() 循环嵌套算法，以及后的递归算法 GenerateRecursion()，两种算法本质相同，都是逐层搜索、回退、再搜索。而递归算法因为不受循环嵌套的限制，通过修改 main.h 中的“纵向数量”和“横向数量”的数值，可以实现 n×n 的计算，例如 10×10 的计算将找到 724 种解，以此类推。

eight.cpp，入口程序，创建八皇后对象 (封装在 main.h 和 main.cpp)，EightQueen 对象有两个主要的生成函数，循环嵌套搜索算法 GenerateLoop() 和递归算法 GenerateRecursion()，它们分别执行生成过程和打印结果。

// eight.cpp : Defines the entry point for the console application.
//#include "stdafx.h"
#include "main.h"using namespace std;int main()
{// 创建八皇后对象EightQueen* eightQueen = new EightQueen();// 生成题解, 逐层搜索搜索, 层级受限eightQueen->InitCheckerboard();eightQueen->GenerateLoop();getchar();// 生成题解, 递归搜索算法eightQueen->InitCheckerboard();eightQueen->GenerateRecursion();getchar();// 释放对象delete eightQueen;return 0;
}

main.h，对象定义，封装所需的函数和内部变量。

#pragma once#ifndef EIGHT_MAIN
#define EIGHT_MAIN// 纵向数量, 递归状态下可以随意扩大
#define CHECKER_BOARD_ROW 8
// 横向数量, 递归状态下可以随意扩大
#define CHECKER_BOARD_COLUMN 8class EightQueen
{
private:// 定义棋盘结构int checkerboard[CHECKER_BOARD_ROW][CHECKER_BOARD_COLUMN];// 初始化当前行void ClearRow(int row);// 检查向上冲突bool CheckVerticalByUp(int row, int column);// 检查左上角冲突bool CheckUpperLeftCorner(int row, int column);// 检查右上角冲突bool CheckUpperRightCorner(int row, int column);// 打印八皇后棋盘void TablePrint();// 计数int intPrintCount = 0;public:// 初始化棋盘void InitCheckerboard();// 生成八皇后题解, 方法 1 嵌套循环void GenerateLoop();// 生成八皇后题解, 方法 2 递归void GenerateRecursion(int row = 0);EightQueen();~EightQueen();
};#endif

main.cpp，主要代码的对象封装。

/** 2018-8-13** 创建一个 8x8 棋盘, 0 表示没有皇后，1表示存在皇后** 循环嵌套算法实现* EightQueen::GenerateLoop()** 递归算法实现* EightQueen::GenerateRecursion(int row)** loop begin* 逐层循环，第一层不做检查* 每一层的每一列进行检查* 取坐标，检查向上是否存在冲突，如果有则返回 false，否则返回 true* 取坐标，检查左上角方向是否存在冲突，如果有则返回 false，否则返回 true* 取坐标，检查右上角方向是否存在冲突，如果有则返回 false，否则返回 true* 将皇后设置到某个指定的坐标* loop end**/#include "stdafx.h"
#include <stdio.h>
#include "main.h"// using namespace std;EightQueen::EightQueen()
{
}EightQueen::~EightQueen()
{
}// 初始化棋盘
void EightQueen::InitCheckerboard()
{for (int i = 0; i < CHECKER_BOARD_ROW; i++){for (int j = 0; j < CHECKER_BOARD_COLUMN; j++){checkerboard[i][j] = 0;}}// 计数器intPrintCount = 0;
}// 打印八皇后解题表格
void EightQueen::TablePrint()
{// 逐行输出棋盘信息for (int row = 0; row < CHECKER_BOARD_ROW; row++){// 设置表宽度const int PrintLineLen = CHECKER_BOARD_COLUMN * 2;// 定义输出表的行, +1 需要一个字符串结束符 0x0char strPrintLine[PrintLineLen + 1];// 初始化输出表的行memset(strPrintLine, 0x0, PrintLineLen + 1);// 绘制棋盘行, 用 " " 和 "." 标记for (int i = 0; i < PrintLineLen; i++){// 创建表格, 留一空格跳空，更易于识别if (i % 2 == 0){strPrintLine[i] = '.';}else{strPrintLine[i] = ' ';}}// 遍历棋盘的行, 找到皇后, 则标记为 'x'for (int i = 0; i < CHECKER_BOARD_COLUMN; i++){// 找到一个皇后，标记为 xif (checkerboard[row][i] == 1){// 跳空置子strPrintLine[i * 2] = 'x';}}// 打印一行printf("%s\n", strPrintLine);}
}// 检查垂直向上的冲突
bool EightQueen::CheckVerticalByUp(int row, int column)
{// 避开当前的皇后位置row--;// 保持列，检查所有行是否存在皇后while (row >= 0){int val = checkerboard[row--][column];if (val == 1){return false;}}return true;
}// 检查左上对角线的冲突
bool EightQueen::CheckUpperLeftCorner(int row, int column)
{// 避开当前的皇后row--;column--;// 检查左上角所有的位置是否有皇后while (row >= 0 && column >= 0){int val = checkerboard[row--][column--];if (val == 1){return false;}}return true;
}// 检查右上对角线的冲突
bool EightQueen::CheckUpperRightCorner(int row, int column)
{// 避开当前的皇后row--;column++;// 检查左上角所有的位置是否有皇后while (row >= 0 && column < CHECKER_BOARD_COLUMN){int val = checkerboard[row--][column++];if (val == 1){return false;}}return true;
}// 初始化当前行
void EightQueen::ClearRow(int row)
{for (int i = 0; i < CHECKER_BOARD_COLUMN; i++){checkerboard[row][i] = 0;}
}// 逐个生成八皇后位置 递归算法
void EightQueen::GenerateRecursion(int row)
{// 找到结果 显示结果并返回if (row == CHECKER_BOARD_ROW){// row == CHECKER_BOARD_ROW 已经完成了棋盘上全部 row 的布子// 打印棋盘TablePrint();printf("No.%d\n", ++intPrintCount);return;}// 在当前 row 内找到一个适合的位置放置皇后for (int c = 0; c < CHECKER_BOARD_COLUMN; c++){// 第一行不作检查if (row == 0){}else{// 向上检查垂直冲突if (CheckVerticalByUp(row, c) == false){continue;}// 检查左上角冲突if (CheckUpperLeftCorner(row, c) == false){continue;}// 检查右上角冲突if (CheckUpperRightCorner(row, c) == false){continue;}}// 当前 row 找到一个适合的位置// 清空当前行ClearRow(row);// 置子checkerboard[row][c] = 1;// 递归进入下一行GenerateRecursion(row + 1);// 若循环内全部被 continue，将回退到上一 row 重新分配位置，直到全部棋盘可能性搜索完}
}// 逐行生成八皇后位置，循环嵌套算法
void EightQueen::GenerateLoop()
{// 计数器int count = 0;// 第1行for (int c0 = 0; c0 < CHECKER_BOARD_ROW; c0++){int row = 0;ClearRow(row);checkerboard[row][c0] = 1;// 第2行for (int c1 = 0; c1 < CHECKER_BOARD_ROW; c1++){int row = 1;// 向上检查垂直冲突if (CheckVerticalByUp(row, c1) == false){continue;}// 检查左上角冲突if (CheckUpperLeftCorner(row, c1) == false){continue;}// 检查右上角冲突if (CheckUpperRightCorner(row, c1) == false){continue;}// 放置皇后ClearRow(row);checkerboard[row][c1] = 1;for (int c2 = 0; c2 < CHECKER_BOARD_ROW; c2++){int row = 2;// 向上检查垂直冲突if (CheckVerticalByUp(row, c2) == false){continue;}// 检查左上角冲突if (CheckUpperLeftCorner(row, c2) == false){continue;}// 检查右上角冲突if (CheckUpperRightCorner(row, c2) == false){continue;}ClearRow(row);checkerboard[row][c2] = 1;for (int c3 = 0; c3 < CHECKER_BOARD_ROW; c3++){int row = 3;// 向上检查垂直冲突if (CheckVerticalByUp(row, c3) == false){continue;}// 检查左上角冲突if (CheckUpperLeftCorner(row, c3) == false){continue;}// 检查右上角冲突if (CheckUpperRightCorner(row, c3) == false){continue;}ClearRow(row);checkerboard[row][c3] = 1;for (int c4 = 0; c4 < CHECKER_BOARD_ROW; c4++){int row = 4;// 向上检查垂直冲突if (CheckVerticalByUp(row, c4) == false){continue;}// 检查左上角冲突if (CheckUpperLeftCorner(row, c4) == false){continue;}// 检查右上角冲突if (CheckUpperRightCorner(row, c4) == false){continue;}ClearRow(row);checkerboard[row][c4] = 1;for (int c5 = 0; c5 < CHECKER_BOARD_ROW; c5++){int row = 5;// 向上检查垂直冲突if (CheckVerticalByUp(row, c5) == false){continue;}// 检查左上角冲突if (CheckUpperLeftCorner(row, c5) == false){continue;}// 检查右上角冲突if (CheckUpperRightCorner(row, c5) == false){continue;}ClearRow(row);checkerboard[row][c5] = 1;for (int c6 = 0; c6 < CHECKER_BOARD_ROW; c6++){int row = 6;// 向上检查垂直冲突if (CheckVerticalByUp(row, c6) == false){continue;}// 检查左上角冲突if (CheckUpperLeftCorner(row, c6) == false){continue;}// 检查右上角冲突if (CheckUpperRightCorner(row, c6) == false){continue;}ClearRow(row);checkerboard[row][c6] = 1;for (int c7 = 0; c7 < CHECKER_BOARD_ROW; c7++){int row = 7;// 向上检查垂直冲突if (CheckVerticalByUp(row, c7) == false){continue;}// 检查左上角冲突if (CheckUpperLeftCorner(row, c7) == false){continue;}// 检查右上角冲突if (CheckUpperRightCorner(row, c7) == false){continue;}// 找到位置并置子ClearRow(row);checkerboard[row][c7] = 1;// 打印表格printf("No.%d: R0=%d, R1=%d, R2=%d, R3=%d, R4=%d, R5=%d, R6=%d, R7=%d\n", ++count, c0, c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7);TablePrint();}}}}}}}}printf("Found %d, press enter to exist.", count);
}

八皇后问题的解输出，两种算法都各找到 92 种解。

Q群讨论 236201801
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