前言

在本文中，会介绍为什么要引入最小函数依赖集，最小函数依赖集是什么，以及如何求最小函数依赖集。

为什么需要最小函数依赖集

在关系数据模型中，一个关系通常由R(U,F)构成，U为属性的全集，F为函数依赖集。在实际生活中，我们可以根据语义来定义关系中属性的依赖关系，例如学号可以唯一确定一位学生的姓名、性别等等。但是，有时候给出的函数依赖集并不是最简的，这有时会拖累我们对关系的后续处理，例如关系的分解、判断是否为无损分解等。所以，我们在必要时，需要对函数依赖集进行化简，这就是需要最小函数依赖集的原因。
在正式介绍最小函数依赖集之前，还需要了解一个概念，那就是闭包。准确的说是属性集X关于函数依赖集F的闭包。

闭包

闭包分为两种，一种是函数依赖集F的闭包，另外一种是属性集X关于函数依赖集F的闭包。前者不做讨论，重点说说后者。先来看定义

设F为属性集U上的一组函数依赖集，X、Y ∈\in∈U，XF+X_F^+XF+= {A|X→\rightarrow→A能由F根据Armstrong公理导出}，XF+X_F^+XF+称为属性集X关于函数依赖集F的闭包。

说白了，就是给定属性集X，根据现有的函数依赖集，看其能推出什么属性。
这里的Armstrong公理系统不用深究，想具体了解的可以点击查看百度百科。
举例：

已知关系模式R<U,F>，其中：
U = {A，B，C，D，E}，
F = {AB →\rightarrow→ C，B→\rightarrow→D，C→\rightarrow→E，EC→\rightarrow→B，AC→\rightarrow→B}
求(AB)F+(AB)_F^+(AB)F+。

解：

从AB出发，此时我们的集合里已经包含了{A，B}。
我们从现有的函数依赖集中可知，
AB可以推出C，于是C加入集合，
B可以推出D，于是D加入集合，
C可以推出E，于是E加入集合，
EC可以推出B，因为C、E、B都在集合中，于是不加入，
AC可以推出B，因为A、B、C都在集合中，于是不加入
至此，可求得(AB)F+(AB)_F^+(AB)F+ ={A、B、C、D、E}。

最小函数依赖集

定义

如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为一个极小函数依赖集，亦称为最小依赖集或最小覆盖。
(1)、F中任一函数依赖右部仅含有一个属性。
(2)、F中不存在这样的函数依赖 X→\rightarrow→A，使得F与F-{X→\rightarrow→A} 等价。
(3)、F中不存在这样的函数依赖X→\rightarrow→A，X有真子集Z使得F-{X→\rightarrow→A}⋃\bigcup⋃{Z→\rightarrow→A} 与F等价。

解释

以上定义翻译成大白话就是，一个函数依赖集F要想称为最小函数依赖集，要满足以下三点：
1、F中任一函数依赖的右边只有一个属性。
2、F中不存在这样的函数依赖：从现有的函数依赖集中删除一个函数依赖X→\rightarrow→A，删除后所得的函数依赖集与原来的函数依赖集等价，这样的函数依赖是不允许存在的。
3、F中不存在这样的函数依赖：假设函数依赖集中存在AB→\rightarrow→Y，现对该依赖的左部进行化简，即删除A，得B→\rightarrow→Y；或删除B，得A→\rightarrow→Y，若经过化简后的函数依赖集与没有化简前的函数依赖集等价，那么这样的函数依赖是不允许存在的。

算法

1、首先，先利用函数依赖的分解性，将函数依赖集中右部不为单个属性的分解为单属性。

2、对于经过第1步筛选后的函数依赖集F中的每一个函数依赖X→\rightarrow→A，进行以下操作：

2.1、将X→\rightarrow→A从函数依赖中剔除
2.2、基于剔除后的函数依赖，计算属性X的闭包，看其是否包含了A，若是，则该函数依赖是多余的(这里体现出前面说的等价，因为如果基于化简后的函数依赖依赖，计算X的闭包依然包含A，则说明A可以由其他依赖推出，X→\rightarrow→A不是必须的)，可以删除，否则不能删除

3、对于经过第2步筛选后的函数依赖集F中每个左部不为单个属性的函数依赖AB→\rightarrow→Y，进行以下操作：
我们约定，经过第二步筛选后的函数依赖集记为F1，经过第三步处理后的函数依赖集为F2。

3.1、去除A，得B→\rightarrow→Y，得F2，基于F1和F2计算属性B的闭包，如果二者相等，则说明它们是等价的，A可以去除；如果不相等，则A不能去除。
3.2、去除B，得A→\rightarrow→Y，得F2，基于F1和F2计算属性A的闭包，如果二者相等则说明它们是等价的，B可以去除；如果不相等，则B不能去除。

知识链接：函数依赖的分解性
若X→\rightarrow→YZ，则X→\rightarrow→Y 且 X→\rightarrow→Z。

举例

关系模式R(U，F)中，U={A，B，C，D，E，G}，F={B→\rightarrow→D，DG→\rightarrow→C,BD→\rightarrow→E,AG→\rightarrow→B,ADG→\rightarrow→BC}；求F的最小函数依赖集。

解：
1、首先根据函数依赖的分解性，对F进行第一次筛选，需要变动的有：
ADG→\rightarrow→BC拆解成ADG→\rightarrow→B、ADG→\rightarrow→C
得新函数依赖集：
F = {B→\rightarrow→D,DG→\rightarrow→C,BD→\rightarrow→E,AG→\rightarrow→B,ADG→\rightarrow→B,ADG→\rightarrow→C}

2、筛选多余的函数依赖

2.1：去除B→\rightarrow→D，得F = {DG→\rightarrow→C,BD→\rightarrow→E,AG→\rightarrow→B,ADG→\rightarrow→B,ADG→\rightarrow→C}，BF+B_F^+BF+ = {B}，不包含D，故B→\rightarrow→D不删除。
2.2：去除DG→\rightarrow→C，得F = {B→\rightarrow→D、BD→\rightarrow→E,AG→\rightarrow→B,ADG→\rightarrow→B,ADG→\rightarrow→C}，(DG)F+(DG)_F^+(DG)F+={D,G}，不包含C，故DG→\rightarrow→C不删除。
2.3：去除BD→\rightarrow→E，得F = {B→\rightarrow→D,DG→\rightarrow→C,AG→\rightarrow→B,ADG→\rightarrow→B,ADG→\rightarrow→C}，(BD)F+(BD)_F^+(BD)F+ = {B,D}，不包含E，故BD→\rightarrow→E不删除。
2.4：去除AG→\rightarrow→B，得F = {B→\rightarrow→D,DG→\rightarrow→C,BD→\rightarrow→E,ADG→\rightarrow→B,ADG→\rightarrow→C}，(AG)F+(AG)_F^+(AG)F+ = {A,G}，不包含B，故AG→\rightarrow→B不删除。
2.5：去除ADG→\rightarrow→B，得F = {B→\rightarrow→D,DG→\rightarrow→C,BD→\rightarrow→E,AG→\rightarrow→B,ADG→\rightarrow→C}，(ADG)F+(ADG)_F^+(ADG)F+ = {A,D,G,C,B,E}，包含B，故ADG→\rightarrow→B去除。
2.6：去除ADG→\rightarrow→C，得F = {B→\rightarrow→D,DG→\rightarrow→C,BD→\rightarrow→E,AG→\rightarrow→B,ADG→\rightarrow→B}，(ADG)F+(ADG)_F^+(ADG)F+ = {A,D,G,C,B,E}，包含C，故ADG→\rightarrow→C去除。
经过第二部筛选后，函数依赖集F变为{B→\rightarrow→D,DG→\rightarrow→C,BD→\rightarrow→E,AG→\rightarrow→B}。

3、化简函数依赖左侧不为单个属性的函数依赖

3.1：先看DG→\rightarrow→C
- 3.1.1：去除D，得G→\rightarrow→C，得函数依赖集F1 = {B→\rightarrow→D,G→\rightarrow→C,BD→\rightarrow→E,AG→\rightarrow→B}。
  基于F1，可求得GF+G_F^+GF+ = {G,C}。
  基于F(第二步求出的，下同)，可求得GF+G_F^+GF+ = {G}
  可见二者并不相同，所以D不去除。
- 3.1.2：去除G，得D→\rightarrow→C，得函数依赖集F1 = {B→\rightarrow→D,D→\rightarrow→C,BD→\rightarrow→E,AG→\rightarrow→B}
  基于F1，可求得DF+D_F^+DF+ = {D,C}
  基于F，可求得DF+D_F^+DF+ ={D}
  可见二者并不相同，所以G不去除。

综上，DG→\rightarrow→C，已是最简。

3.2：再看BD→\rightarrow→E
- 3.2.1：去除B，得D→\rightarrow→E，得函数依赖集F1 = {B→\rightarrow→D,DG→\rightarrow→C,D→\rightarrow→E,AG→\rightarrow→B}
  基于F1，可求得DF+D_F^+DF+ = {D,E}
  基于F，可求得DF+D_F^+DF+ = {D}
  可见二者并不相同，所以B不去除。
- 3.2.2：去除D，得B→\rightarrow→E，得函数依赖集F1 = {B→\rightarrow→D,DG→\rightarrow→C,B→\rightarrow→E,AG→\rightarrow→B}
  基于F1，可求得BF+B_F^+BF+ = {B,E,D}
  基于F，可求得BF+B_F^+BF+ = {B,D,E}
  可见二者相同，所以D可以去除。

综上，BD→\rightarrow→E，可化简为B→\rightarrow→E。

3.3：最后看AG→\rightarrow→B
- 3.3.1：去除A，得G→\rightarrow→B，得函数依赖集F1 = {B→\rightarrow→D,DG→\rightarrow→C,B→\rightarrow→E,G→\rightarrow→B}
  基于F1，可求得GF+G_F^+GF+ = {G,B}
  基于F，可求得 GF+G_F^+GF+ = {G}
  可见二者并不相同，所以A不可去除。
- 3.3.2：去除G，得A→\rightarrow→B，得函数依赖F1 = {B→\rightarrow→D,DG→\rightarrow→C,B→\rightarrow→E,A→\rightarrow→B}
  基于F1，可求得AF+A_F^+AF+ = {A,B}
  基于F，可求得AF+A_F^+AF+ = {A}
  可见二者并不相同，所以G不可去除。

综上，AG→\rightarrow→B，已是最简。
综上，R的最小函数依赖集为F = {B→\rightarrow→D,DG→\rightarrow→C,B→\rightarrow→E,AG→\rightarrow→B}

写在最后

这个问题是我在考研复试的时候复习过程中遇到的，主要的纠结点在于第三步的判断上，查资料的时候发现网上很多都没有写清，最后还是在度娘的文库里找到了比较清楚的解释，在此做一下思路的整理。
本文定义以及例子参考自：

《数据库系统概论（第五版）》王珊萨师煊编著清华大学出版社
CSDN 博文数据库建模和设计（2）：函数依赖、闭包、最小函数依赖集、范式、模式分解

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关系数据库理论之最小函数依赖集

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前言

为什么需要最小函数依赖集

闭包

最小函数依赖集

定义

解释

算法

举例

写在最后

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