集训队论文之经典数学题【收藏】
[例题1] m,n∈N,1<=m,n<=k<=109,且(n2-mn-m2)2=1,输入k,求m,n使m2+n2最大。(NOI’95)
从数据的规模可“猜想”本题一定蕴含着更为简单的数学关系,但是题目的数学关系不明显,数学分析的难度太大。而用简单的两重循环枚举可以很方便的算出小数据的情况。
K |
1 |
2 |
3,4 |
5,6,7 |
8,9,10,11,12 |
13… |
M |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13… |
N |
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8… |
通过这些试验,我们猜想符合条件的m,n成Fibonacci数列。实际上:
n2-mn-m2= -(m2+mn-n2)
= -[(m+n)2-mn-2n2]
= -[(m+n)2- n(m+n) -n2]
更多的猜想来自类比。总之,猜想是一种合情的推理,它有利于对思路的正确诱导。
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