HDU4686——Arc of Dream矩阵快速幂

题目链接：

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4686

题目大意：

　　已知a0=A0,　　a_i=Ax*a_i-1+Ay;

　　　　b0=B0,　　b_i=Bx*b_i-1+By;

　　求∑a_i*b_i（i=0-->n-1）。

　　n不超过10¹⁸，A0，Ax，Ay，B0，Bx，BY不超过2*10⁹。

题目分析：

　　因为n很大，不可能用递推来做，这个时候就想到了矩阵的方法。构造了好几个满足要求的，但都是仅仅满足ai或者bi的，最后才发现，把ai*bi按递推式展开，

a_i*b_i=Ax*By*a_i-1*b_i-1+Ax*By*a_i-1+Ay*Bx*b_i-1+By*Ay。将常数组合在一起构成一个矩阵，将变量组合在一起构成另一个矩阵，然后将ai*bi构造成矩阵递推式：

矩阵1：

　　1　　a_i　　b_i　　a_i*b_i　　si（求和）

　　0　　0　　0　　 0　　 0

矩阵2：

　　1　　Ay　　By　　Ay*By　　Ay*By

　　0　　Ax　　0　　 Ax*By　　Ax*By

　　0　　0　　 Bx　　Ay*Bx　　Ay*Bx

　　0　　0　　 0　　 Ax*By　　Ax*By

　　0　　0　　 0　　 0　　　　 1

矩阵3

　　1　　a_i+1　　b_i+1　　a_i+1*b_i+1　　si（求和）

　　0　　0　　0　　 0　　 0

显然　　矩阵1*矩阵2=矩阵3。根据递推关系呢，矩阵1（i=0）*（矩阵2）^n-1就能得到s（n-1）了。因而，用矩阵快速幂就能很快把问题解决了。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 const long long mod=1000000007;
 6 typedef struct
 7 {
 8     long long m[5][5];
 9 }mat;
10 mat X,Y;
11 mat multi(mat x,mat y)
12 {
13     mat temp;
14     for(int i=0;i<5;i++)
15         for(int j=0;j<5;j++)
16         {
17             temp.m[i][j]=0;
18             for(int k=0;k<5;k++)
19                 temp.m[i][j]+=x.m[i][k]*y.m[k][j]%mod;
20             temp.m[i][j]%=mod;
21         }
22     return temp;
23 }
24
25 mat pow(long long k)//矩阵快速幂
26 {
27     mat ans=X,p=Y;
28     while(k)
29     {
30         if(k&1)
31             ans=multi(ans,p);
32         p=multi(p,p);
33         k/=2;
34     }
35     return ans;
36 }
37
38 int main()
39 {
40     long long n,a0,ax,ay,b0,bx,by;
41     while(cin>>n>>a0>>ax>>ay>>b0>>bx>>by)
42     {
43         if(!n)//这边需要注意特判一下
44         {
45             printf("0\n");
46             continue;
47         }
48         memset(X.m,0,sizeof(X.m));
49         memset(Y.m,0,sizeof(Y.m));
50         X.m[0][0]=1;X.m[0][1]=a0;X.m[0][2]=b0;X.m[0][3]=a0*b0%mod;X.m[0][4]=a0*b0%mod;
51         Y.m[0][0]=1;Y.m[0][1]=ay;Y.m[0][2]=by;Y.m[0][3]=ay*by%mod;Y.m[0][4]=ay*by%mod;
52         Y.m[1][1]=ax;Y.m[1][3]=Y.m[1][4]=ax*by%mod;
53         Y.m[2][2]=bx;Y.m[2][3]=Y.m[2][4]=ay*bx%mod;
54         Y.m[3][3]=Y.m[3][4]=ax*bx%mod;
55         Y.m[4][4]=1;
56         mat ans=pow(n-1);
57         long long s=ans.m[0][4]%mod;
58         cout<<s<<endl;
59     }
60     return 0;
61 }

HDU4686

转载于:https://www.cnblogs.com/xiaozhuyang/p/HDU4686-ArcofDream.html

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