利用openmp实现矩阵相乘_MP116：线性代数补习班(4)：矩阵的张量积

下面我们探讨矩阵张量积所蕴含的意义。将域

上的

维

方矩阵(phalanx)的集合记为

，矩阵张量积的计算如下：

[余扬政1998] 物理学中的几何方法

后面将看到，矩阵的张量积可以不限于方矩阵。

Hermite内积的张量表示

回顾一个过去多次讨论的例子，详细的推导见：

MP32：张量专题(1)：SO(2)和平面向量的张量
MP86：辛(symplectic)的起源(1)：三角函数的线性性与Hermite内积
MP87：辛(symplectic)的起源(2)：张量与Hermite内积的旋转不变量
MP88：辛(symplectic)的起源(3)：辛矩阵

过去 [MP32] 我们已经详细讨论了

对正交归一基的作用，从而构造逆变张量。现在我们直接用

作用于复数。

复数的Hermite内积

蕴含着与张量相关的性质：

其关键之处在于对第二个变元是共轭(conjugate)的，从而在复数乘法中得到了复向量的夹角。在(1)中，Hermite内积的实部为向量内积、虚部为向量外积：

内积和外积在Hermite内积中的统一(2)，让我们注意到它们都有统一的组成成分——由

个向量的分量交替相乘产生的

-次齐次项

。运用上面的矩阵张量积规则，可以将所有

-齐次项用一个列向量/张量表示：

把(2)写成对张量的线性映射，以便用线性映射的手法同时分析内积和外积：

张量积的实质是把双线性映射转化为一个单线性映射。上式已经体现出了这种转换的结构，即通过一个矩阵

将两个向量整体映射到Hermite内积。下面我们通过特殊正交群

对内积和外积——乃至Hermite内积的保持来阐述这一点。

的张量

考虑特殊正交群

作为平面旋转群

对平面向量的作用：

从而导致(3)的变化，直接展开计算：

现在我们得到了基的变换下，合成向量的变换关系。(5)中

对两个向量分别进行的线性映射，在(6)中构成双线性映射。张量

则直接作用于

构成对应于双线性映射的单线性映射，即结合(5)(6)的：

Hermite内积的

不变性

回到(4)中Hermite内积的张量表示，在(7)中

的作用下，有：

这里涉及到(4)和(6)中两个大的矩阵的乘法：

带入(8)证得

即二维Hermite内积在

作用下不变。

典型群的张量

前面的讨论让我们熟悉如何利用张量的手法来处理不变性问题，这样既有详尽的计算，又有直观的理解。现在我们站在一般的典型群，主要是可以矩阵表示的

的Lie子群上考虑问题，这类Lie群可以视为线性空间上的算子群，在物理上有极为广泛的应用——如规范场。经过上面的讨论，我们可以对类似问题有一个一般的处理思路：将(5)拓展开，给定作用于两个线性空间的两个Lie群

和

，群元

作用于

，

作用于

都是线性的：

前面例子中原始的Hermite内积(2)体现了如下结构的双线性映射：

而(4)则体现了将双线性映射转化为对张量积的单线性映射，线性空间中可以用矩阵

表示（无穷维线性空间则是算子）：

类似前面的讨论，当Lie群以(9)线性作用时，(10)和(11)相应变成

上式中，第一行的双线性方式需要处理两个变量，而第二行的单线性映射直接操作张量，是现代数学物理常用的方法，其要点如同我们在(6)(7)所体验到的，在于借助Lie群本身的张量积

来构造对张量空间

的单线性变换：

现在回到最初的矩阵乘法。上面我们没有限定线性空间和Lie群的类型。若

以及

，那么作为可以用矩阵表示的典型群有

及

，其矩阵表示的张量就是矩阵张量积

，从(11)中线性映射的角度看，

，而矩阵张量积

就是

上的线性变换(13)。

矩阵的张量

进一步开阔视野，不要局限于线性空间的自同态，把前面Lie群的例子拓展为两个线性映射，

作用于

，

作用于

都是线性的：

以上(11)~(13)都可以类似推导。若

以及

，那么作为可以用矩阵表示的线性映射有

及

，其矩阵表示的张量就是矩阵张量积

。

我们准备从线性空间的张量过渡到模范畴上讨论。在线性代数中，取

，

，矩阵乘法是相容的：

方矩阵环

对左右两个模起到的中介的作用，并且矩阵相乘后

不再是环

上的模，环的作用在矩阵乘法中被消去了——换句话说，直积

保留了全部信息，而

消去了线性算子环

而构成了某种商，不严格地说，以上矩阵乘法的过程实际上是在直积上商掉一个