基于除法模型和核密度估计算法的镜头径向失真校正方法

引言

在数字图像处理中径向失真是一个对图像损害比较严重的问题，广角照相机、鱼眼照相机和短焦距的相机拍出来的图像都普遍存在着径向失真的现象。径向失真分为桶形失真和枕形失真

桶形失真使得图像向中心压缩，并且越边缘失真得越厉害，而枕形失真则刚好相反。如果使用径向失真图像进行几何测量，就必须对图像进行几何校正。

目前镜头失真校正的方法主要分为3类。

第一类方法利用定制的标定模板求解失真参数。根据失真图像与模板的特征点对应关系，把标定问题转化为一个非线性优化问题，并同时求解包括径向失真在内的所有标定参数。该类方法需要确定模板点阵的物理坐标，其优点是校正精度比较高，但需要较多的人工干预。

第二类方法利用场景中的直线约束来校正镜头的径向失真，通常也称之为铅垂线方法。它要求图像中存在某些线状结构如建筑物、道路等等，并且需要标记出这些线状结构的边缘。

第三类方法主要利用多幅图像的几何约束实现镜头失真的校正。

本文提出的径向失真校正方法基于DM模型和核密度估计算法。先确定径向失真模型为DM模型，用sift方法对同一场景两视点的失真图像进行特征点的提取和匹配，然后选取50组特征点对联立方程式组，采用核密度估计算法求解方程组的根，绘制出根的分布密度函数曲线，峰值所对应的横坐标即为校正参数，利用这个参数实现对两幅失真图像的校正。

#1径向失真模型
由于实际的镜头失真曲线比较复杂，通常采用多项式模型(PM)进行逼近。

PM模型是一种常用的径向失真模型，对于普通相机的径向失真，该模型的一阶形式已经足够描述非线性畸变。在失真比较严重的情况下，用PM模型表示可能会包含太多的阶数，造成求解困难。FitzgibbonI5提出了除法模型(DM)，表达式为

DM模型相对于PM模型而言，最明显的优势是需要少得多的要求却能够描述大的失真J。特别是对大多数相机而言只需要一个参数就足以能够讨论镜头的失真程度

本文采用一个参数DM模型进行研究。

2失真校正算法

虑同一个场景中两张非失真图像I和I’，XX’分别为这两张图像的一对特征点，它们的关系可以表示为

其中，矩阵F是基本矩阵.（这里使用了对极约束）

将式(4)代入式(5)，可以把一对非失真图像特征点之问的关系转化为一对失真图像特征点之间的关系，关系式为：

任意一对特征点失真程度都是相同的，即任意选取一对特征点的坐标代人表达式(6)都不改变它的恒等性，那么等式两边可以同时乘L(r,d)L(r,d)L(r,d),，并将具体的坐标形式(x，y,z)(x，y,z)(x，y,z)代入式

因为两幅失真图像的特征点坐标之问存在一种映射关系，需要用
到张量积符号o，最终表达式变形为

上式反映了失真图像特征点对的坐标与失真参数这3个变量之问的关系，我们可以记，X,X’为两幅失真图像的一对特征点，用式(8)代替式(7)简单反映这个关系

其中，M叫做测量矩阵，它取决于特征点对的坐标和失真参数k,f为全零向量

因为最终要求的只是失真参数k，所以要在M中约去变量X和X’，
，得到一个仅含有变量k的表达式。

因为矩阵的逐行缩放对向量f的零空间没有影响，并且当且仅当M矩阵是奇异阵时方程式(8)才有非平凡解。

外，方程的解应该是一个有效的基本矩阵，所以它本身重新排列后也必须是奇异的。根据这两个奇异条件，可以得到一个非线性
方程组对

其中，Ker[]是零空间算子，Mtx[]是矩阵算子，它可以把一个向量重新安排为一个矩阵。

们把式(9)、(10)两个方程式称为基本方程式。失真参数k仅仅取决于这两个方程式，而和矩阵F的值没有一点关系。

在根据基本方程式选取特征点对联立方程组求解时，如果使用N组特征点对，那么我们就可以联立N个方程式组。

理论上讲应该有一个k值满足这些方程，但由于噪声的原因，可能没有解满足这个方程组。为了解决这个问题，我们采用核密度估计的方法。

通过实验发现：虽然噪声在很大程度上影响了基本方程式，但解出的根实际上仍然包围着真正的根。从各种测量得到所有根的分布显示为一个峰形。只要我们收集足够的特征点对，通常30～70
足够，就能找到这个根。

核密度估计函数定义为：

其中，函数称为核函数，h是带宽。本文中固定高斯核的带宽为0．3。

我们绘制出根的分布密度函数曲线，找到峰值对应的横坐标值即为我们需要求解的校正参数值。

3一个参数DM模型的失真校正

对大多数失真图像而言，只需要一个参数就能够讨论它的失真。因此使用一个参数DM模型作为要研究的失真模型。

假设失真中心e为图像坐标系统的原点，L(r，d)=1+kr2L(r，d)=1+kr^2L(r，d)=1+kr2，则表达式(4)变形为：

根据算法思想，失真校正的具体步骤如下：
(1)输入同一场景两视点的失真图像，归一化图像坐标，使得归一化的失真半径总是在0和1之间变化。归一化坐标可以提高失真参数的估计精度，对于DM模型，失真参数k的变化范围在一2到0之间。

(2)采用sift方法进行特征点的提取和匹配。

(3)选取50组特征点对，采用核密度估计算法求解方程组的根，以根的实部为横坐标，根的分布密度函数为纵坐标绘制曲线，峰值所对应的实部即为校正参数。

(4)根据校正参数对两幅失真图像进行校正

结束

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引言

2失真校正算法

3一个参数DM模型的失真校正

结束

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