张思思  曾华

(中南大学土木建筑学院，湖南长沙  410012)

摘要：本文首先对“体彩排列三”中的和数与和尾上近1074期的出号数字进行统计，利用马尔可夫链，求得其相应的转移矩阵。其次，建立和尾与和数的转移概率矩阵，基于马尔科夫链的预测法，得出下期和尾与和数各状态概率矩阵，从中挑选出概率最大几项作为下期预测的和尾及和数，为投资者提供更好的投资方案。

关键词：转移概率矩阵；状态概率矩阵；马尔科夫预测法

一、“体彩排列三”的基本知识

购买"体彩排列3"时，由购买者从000-999的数字中选取1个3位数为投注号码进行投注。彩票购买人购买彩票时关注的概念有：

1. 和值：即下期彩票三个数字之和；

2. 和尾：即和值中的第二位数值；

3. 跨度：下期彩票三个数字中的最大数与最小数之差；

4. 胆码：下期可能出现的出号；

5. 组合：彩票三个数字的不同组合；

二、建立转移概率矩阵

2.1问题的分析

由于各期的体育彩票出号均为相互独立，且百位、十位和各位上的数字也互不影响，均为相互独立。在事件的发展过程中，每次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则可知这样的状态转移过程是马尔可夫过程。

根据过去近1000期的体育彩票“排列三”的出号，可分别将百位、十位和各位上的1000个数据统计出来，在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。

2.2状态转移矩阵的建立

(1)状态转移概率：在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。由状态Ei转为状态Ej的状态转移概率为：

(2)状态转移概率矩阵：假定某一个事件的发展过程有n个可能的状态，即。记为从状态 转变为状态的状态转移概率 ，则其状态转移概率矩阵：

其中，

2.3状态转移矩阵的求解

经查阅资料可得近1074期的号码历史数据，知对和尾上的数字均为0—9内的数字间的相互转移，假设对于数字0—9，其对应的转移状态用 来表示，则从状态转移到 状态的个数为 ， 为状态 的个数，概率为 ，可知

(4.2.1)

因此，只要统计出从 状态转移到状态的个数为 ，则可求得从 状态转移到 状态的转移概率。同理，对于和数上的数字即是在0—27内转移。

三、预测和尾与和数

3.2马尔科夫预测法

马尔可夫(Markov)预测法，是一种预测事件发生的概率的方法。它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻(或时期)变动状况的一种预测方法。

通过对历史数据进行统计，可求出和尾和和数的转移概率矩阵，由此，可通过当期的数据求出下期将出现的数字的状态概率矩阵，筛选出概率较大的作为预测结果。

3.2.1 马尔科夫预测法的建立

(1)状态概率：表示事件在初始(k＝0)状态为已知的条件下，经过k次状态转移后，在第k 个时刻(时期)处于状态 的概率。 且：

根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes条件概率公式，有：

(j=1,2,n)

(2)状态概率递推公式：

记行向量  ，则由上式可以得到逐次计算状态概率的递推公式：

式中， 为初始状态概率向量。

(3)第k个时刻(时期)的状态概率预测

如果某一事件在第0个时刻(或时期)的初始状态已知，即 已知，则利用递推公式，就可以求得它经过k次状态转移后，在第k个时刻(时期)处于各种可能的状态的概率，即，从而就得到该事件在第k个时刻(时期)的状态概率预测

3.2.2 马尔科夫预测法的求解

通过MATLAB程序，取近1074组数据，可得到和尾与和数下一期的各状态的概率如下所示：

和尾的状态概率矩阵：

P =[0.1122,0.1224,0.1020,0.0918,0.0918,0.1429,0.1020,0.1122,0.0408,0.0816]

和数的状态概率矩阵：

P=[0,0,0,0.0185,0,0.0185,0.0185,0.0185,0,0.0370,0.0556,0.0741,0.0741,0.0556,0.0741,0.1481,0.0741,0.1111 0.0185,0.0556,0.0926,0.0185,0,0,0.0185,0.0185,0,0]

根据以上状态概率，分别选取和尾和和数概率最大的前三个数作为下期的预测值，即：

下期看好和尾：5、1、0、7、2

下期看好和数：20、11、12、13、16